Exercice 4, § 8

Soit M un A-module. On appelle dimension injective de M, et on note $\mathrm{di}_A(M)$, la borne inférieure dans $\overline{\mathbf{Z}}$ des longueurs des résolutions injectives de M. Si n est un entier $\geqslant 0$, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) $\mathrm{di}_A(M) \leqslant n$; β) $\mathrm{Ext}_A^r(N, M) = 0$ pour tout A-module N et tout entier $r > n$; γ) $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(N, M) = 0$ pour tout A-module N ; δ) $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(N, M) = 0$ pour tout A-module monogène N ; ε) pour toute suite exacte $0 \to M \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to N \to 0$, où les $I^k$ sont injectifs, N est injectif.