Bài tập 7, § 8

Cho M là một A-môđun. chiều phẳng của M được gọi là, và được ký hiệu bởi $\mathrm{dpl}_A(M)$, cận dưới lớn nhất trong $\overline{\mathbf{Z}}$ của các độ dài của các giải phẳng của M. a) Nếu n là một số nguyên $\geqslant 0$, hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$. β) $\mathrm{Tor}_r^A(N, M) = 0$ với mọi A-môđun phải N và mọi số nguyên $r > n$. γ) $\mathrm{Tor}_{n+1}^A(N, M) = 0$ với mọi A-môđun phải N. δ) $\mathrm{Tor}_{n+1}^A(N, M) = 0$ với mọi A-môđun phải đơn sinh N. ε) Với mọi dãy khớp $0 \to K \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ trong đó các $P_k$ là phẳng, K là phẳng. b) Hãy chứng minh rằng $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant \mathrm{dp}_A(M)$; có đẳng thức nếu A là Noether và M là hữu hạn kiểu. c) Cho $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một hệ quy nạp của các A-môđun và N là giới hạn quy nạp của nó. Hãy chứng minh bất đẳng thức