Exercice 7, § 8

Soit M un A-module. On appelle dimension plate de M, et on note $\mathrm{dpl}_A(M)$, la borne inférieure dans $\overline{\mathbf{Z}}$ des longueurs des résolutions plates de M. a) Sin est un entier $\geqslant 0$, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$. β) $\mathrm{Tor}_r^A(N, M) = 0$ pour tout A-module à droite N et tout entier $r > n$. γ) $\mathrm{Tor}_{n+1}^A(N, M) = 0$ pour tout A-module à droite N. δ) $\mathrm{Tor}_{n+1}^A(N, M) = 0$ pour tout A-module à droite monogène N. ε) Pour toute suite exacte $0 \to K \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ où les $P_k$ sont plats, K est plat. b) Montrer que l’on a $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant \mathrm{dp}_A(M)$; il y a égalité si A est ncethérien et M de type fini. c) Soient $(N_\alpha)_{\alpha \in I}$ un système inductif de A-modules et N sa limite inductive. Démontrer l’inégalité