Bài tập 8, § 8

Người ta gọi chiều Tor của A và ký hiệu bởi $\mathrm{td}(A)$ là cận trên trong $\overline{\mathbf{Z}}$ của tập hợp các số nguyên n sao cho tồn tại một A-môđun trái N và một A-môđun phải M thỏa mãn $\mathrm{Tor}_n^A(M, N) \neq 0$. a) Cho n là một số nguyên $\geqslant 0$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $\mathrm{td}(A) \leqslant n$. β) Với mọi A-môđun M, ta có $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$ (bài tập 7). γ) Với mọi A-môđun đơn sinh M, ta có $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$. b) Chứng minh rằng $\mathrm{td}(A) = \mathrm{td}(A^\circ)$ và $\mathrm{td}(A) \leqslant \mathrm{dh}(A)$; đẳng thức đúng nếu A là Noether trái.