Exercice 8, § 8

On appelle tor-dimension de A et on note $\mathrm{td}(A)$ la borne supérieure dans $\overline{\mathbf{Z}}$ de l’ensemble des entiers n pour lesquels il existe un A-module à gauche N et un A-module à droite M tels que $\mathrm{Tor}_n^A(M, N) \neq 0$. a) Soit n un entier $\geqslant 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) $\mathrm{td}(A) \leqslant n$. β) Pour tout A-module M, on a $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$ (exercice 7). γ) Pour tout A-module monogène M, on a $\mathrm{dpl}_A(M) \leqslant n$. b) Montrer que l’on a $\mathrm{td}(A) = \mathrm{td}(A^\circ)$ et $\mathrm{td}(A) \leqslant \mathrm{dh}(A)$; l’égalité a lieu si A est ncethérien à gauche.