Bài tập 9, § 8

a) Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Mọi iđêan sinh hữu hạn (trái) của A là một A-môđun xạ ảnh. β) Mọi môđun con sinh hữu hạn của một A-môđun xạ ảnh là xạ ảnh.

γ) Ta có td (A) $\leq 1$ (bài tập 8), và vành A là coherent (X, p. 181, bài tập 11). δ) Với mọi tập hợp I, mọi môđun con của $A^I$ là phẳng. b) Giả sử vành A thỏa mãn các điều kiện tương đương của a). Chứng minh rằng mọi A-môđun xạ ảnh là đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các iđêan sinh hữu hạn của A. (Trước hết xét trường hợp của một môđun sinh hữu hạn; sau đó xét bằng quy nạp trường hợp của một môđun thừa nhận một họ đếm được các phần tử sinh, nhận thấy rằng mọi phần tử của một A-môđun xạ ảnh P được chứa trong một nhân tử trực tiếp kiểu hữu hạn của P. Suy ra trường hợp tổng quát từ định lý Kaplansky (II, p. 183, bài tập 2).)