Exercice 9, § 8

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Tout idéal (à gauche) de type fini de A est un A-module projectif. β) Tout sous-module de type fini d’un A-module projectif est projectif.

γ) On a td (A) $\leq 1$ (exercice 8), et l’anneau A est cohérent (X, p. 181, exercice 11). δ) Pour tout ensemble I, tout sous-module de $A^I$ est plat. b) On suppose que l’anneau A vérifie les conditions équivalentes de a). Démontrer que tout A-module projectif est isomorphe à une somme directe d’idéaux de type fini de A. (Traiter d’abord le cas d’un module de type fini ; traiter ensuite par récurrence le cas d’un module admettant une famille dénombrable de générateurs, en observant que tout élément d’un A-module projectif P est contenu dans un facteur direct de type fini de P. Déduire le cas général du théorème de Kaplansky (II, p. 183, exercice 2).)