Bài tập 4, Phụ lục 0

Cho $A$ là một số hạng hoặc một quan hệ trong một lý thuyết $\mathscr{T}$. Xét dãy các dãy ký hiệu được xác định như sau. Trước hết, viết $A$. Nếu $A$ chỉ gồm một chữ cái, dừng lại. Nếu không, tiếp theo viết dãy ký hiệu hoặc các dãy ký hiệu tiền định trước $A$ (nếu $A$ bắt đầu bằng một $\tau$, chọn tùy ý một trong các dãy ký hiệu tiền định trước). Sau đó viết dãy ký hiệu hoặc các dãy ký hiệu tiền định trước những dãy ký hiệu đứng trước đó mà không chỉ gồm một chữ cái; và cứ tiếp tục như vậy.

(a) Nếu đảo ngược thứ tự của dãy các dãy ký hiệu này, ta được một phép dựng kiến tạo.

(b) Cho $B$ là một đoạn cân bằng của $A$ sao cho không có dấu nào của $B$ được liên kết in trong $A$ với một dấu nằm ngoài $B$. Hãy chứng minh rằng $B$ hoặc là một số hạng hoặc là một quan hệ (dùng (a) và Bài tập 1).

(c) Thay thế $B$ trong $A$ bằng một số hạng (tương ứng, một quan hệ) nếu $B$ là một số hạng (tương ứng, một quan hệ). Chứng minh rằng biểu thức thu được là một số hạng nếu $A$ là một số hạng, một quan hệ nếu $A$ là một quan hệ.