§ 1. 1. Các quan hệ xác định tập

1. Các quan hệ xác định tập

1. Lý thuyết tập hợp

Lý thuyết tập hợp là một lý thuyết chứa các dấu quan hệ $=$ , $\in$ và dấu thực thể hóa $\supset$ (tất cả các dấu này đều có trọng số 2); ngoài các lược đồ S1 đến S7 đã cho trong Chương I, nó còn chứa lược đồ S8, sẽ được đưa vào ở no. 6, và các tiên đề tường minh A1 (no. 3.), A2 (no. 5), A3 (§ 2, no. 1), A4 (§ 5, no. 1), và A5 (Chương III, § 6, no. 1). Các tiên đề tường minh này không chứa chữ cái nào; nói cách khác, lý thuyết tập hợp là một lý thuyết không có hằng số.

Vì lý thuyết tập hợp là một lý thuyết bình đẳng, các kết quả của Chương I được áp dụng.

¶ Từ nay về sau, trừ khi điều ngược lại được nói rõ, ta sẽ luôn lập luận trong một lý thuyết mạnh hơn (Chương I, § 2, no. 4) lý thuyết tập hợp; nếu không nói đến lý thuyết, cần hiểu rằng lý thuyết tập hợp được giả thiết. Trong nhiều trường hợp sẽ hiển nhiên rằng giả thiết này là thừa, và độc giả sẽ không gặp khó khăn nào trong việc xác định trong lý thuyết nào yếu hơn lý thuyết tập hợp mà các kết quả đã phát biểu là đúng.

Nếu $T$ và $U$ là các số hạng, tập hợp $\in TU$ là một quan hệ (được gọi là quan hệ thuộc) mà trong thực tế ta viết theo một trong các cách sau: $T \in U$ , $(T) \in (U)$ , " $T$ thuộc $U$ ", " $T$ là một phần tử của $U$ ". Quan hệ "không $(T \in U)$ " được viết là $T \notin U$ .

Theo quan điểm "ngây thơ", nhiều đối tượng toán học có thể được xem như những tập hợp hoặc "tập hợp" các đối tượng. Ta không tìm cách hình thức hóa khái niệm này, và trong cách giải thích hình thức luận của những điều tiếp theo, từ "tập hợp" được xem là hoàn toàn đồng nghĩa với "số hạng". Đặc biệt, những câu như "cho X là một tập hợp" về nguyên tắc là hoàn toàn thừa, vì mọi chữ cái đều là một số hạng. Những câu như vậy chỉ được đưa vào nhằm hỗ trợ cách hiểu trực giác của văn bản.

2. Bao hàm

Định nghĩa 1 03H5

Quan hệ được ký hiệu bởi* $(\forall z)((z \in x) \Rightarrow (z \in y))$ , trong đó chỉ các chữ cái $x$ và $y$ xuất hiện, được viết theo một trong các cách sau đây : $x \subset y$ , $y \supset x$ , " $x$ được chứa trong $y$ ", " $y$ chứa $x$ ", " $x$ là một tập con của $y$ ". Quan hệ "không $(x \subset y)$ " được viết là $x \not\subset y$ hoặc $y \not\supset x$ .

Theo các quy ước đã nêu trong Chương I, § 1, no. 1, định nghĩa này kéo theo quy ước siêu toán học sau đây. Cho $T$ và $U$ là các dãy ký hiệu; nếu ta thay $T$ cho $x$ và $U$ cho $y$ trong dãy ký hiệu $x \subset y$ , ta thu được một dãy ký hiệu được ký hiệu bởi $T \subset U$ ; nếu ta ký hiệu bởi $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ các chữ khác với $x$ , $y$ và khác nhau từng đôi một, và không xuất hiện trong $T$ cũng như trong $U$ , thì dãy ký hiệu $T \subset U$ khi đó đồng nhất với $(T|\mathbf{x})(U|\mathbf{y})(\mathbf{x}|x)(\mathbf{y}|y)(x \subset y)$ và do đó, theo CS8, CS9 (Chương I, § 4, no. 1), và CS5 (Chương I, § 1, no. 2), với $(\forall z)((z \in T) \Rightarrow (z \in U))$ , với điều kiện rằng $z$ là một chữ không xuất hiện trong $T$ cũng như trong $U$ .

Từ nay, mỗi khi phát biểu một định nghĩa toán học, chúng ta sẽ không đề cập đến quy ước siêu toán học mà nó kéo theo.

CS12. *Cho $T$ , $U$ , $V$ là các dãy ký hiệu và cho $x$ là một chữ cái. Khi đó dãy ký hiệu $(V|x)(T \subset U)$ đồng nhất với $(V|x)T \subset (V|x)U$ .

Điều này suy ra ngay lập tức từ CS9 (Chương I, § 4, no. 1) và CS5 (Chương I, § 1, no. 2).

CF13. Nếu $T$ và $U$ là các dạng, thì $T \subset U$ là một quan hệ.

Điều này suy ra ngay lập tức từ CF8 (Chương I, § 1, no. 4).

¶ Mọi quan hệ có dạng $T \subset U$ (trong đó $T$ và $U$ là các dạng) được gọi là một quan hệ bao hàm.

Từ nay chúng ta sẽ không còn viết tường minh các tiêu chuẩn thế và các tiêu chuẩn kiến tạo phải theo sau các định nghĩa nữa. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các tiêu chuẩn này thường được sử dụng ngầm trong các chứng minh.

Để chứng minh quan hệ $x \subset y$ trong một lý thuyết $\mathscr{T}$ , theo C27 (Chương I, § 4, no. 1), chỉ cần chứng minh rằng $z \in y$ trong lý thuyết thu được bằng cách thêm $z \in x$ vào các tiên đề của $\mathscr{T}$ , trong đó $z$ là một chữ cái phân biệt với $x$ , $y$ và các hằng của lý thuyết. Trong thực tế, ta nói "cho $z$ là một phần tử của $x$ ", và ta thử chứng minh $z \in y$ .

Mệnh đề 1 03P9

$x \subset x$ .

Hiển nhiên.

Mệnh đề 2 03PA

$(x \subset y$ và $y \subset z) \Rightarrow (x \subset z)$ .

Thêm các giả thiết $x \subset y$ , $y \subset z$ , và $u \in x$ . Khi đó các quan hệ

(u \in x) \Rightarrow (u \in y), \qquad (u \in y) \Rightarrow (u \in z),

là đúng, và do đó quan hệ $u \in z$ là đúng.

3. Tiên đề ngoại diên

Tiên đề ngoại diên là tiên đề sau đây :

A1. $\qquad (\forall x)(\forall y)((x \subset y \text{ và } y \subset x) \Rightarrow (x = y))$ .

Về trực giác, tiên đề này biểu thị sự kiện rằng hai tập hợp có cùng các phần tử là bằng nhau.

Để chứng minh rằng $x = y$ , do đó chỉ cần chứng minh $z \in y$ trong lý thuyết thu được bằng cách thêm giả thiết $z \in x$ , và $z \in x$ trong lý thuyết thu được bằng cách thêm giả thiết $z \in y$ , trong đó $z$ là một chữ cái phân biệt với $x$ , $y$ , và các hằng.

C48. Cho $\mathbf{R}$ là một quan hệ, $x$ là một chữ cái, và $y$ là một chữ cái phân biệt với $x$ mà không xuất hiện trong $\mathbf{R}$ . Khi đó quan hệ $(\forall x)((x \in y) \Leftrightarrow \mathbf{R})$ là đơn trị theo $y$ .

Cho $z$ là một chữ cái phân biệt với $x$ mà không xuất hiện trong $\mathbf{R}$ . Thêm vào các giả thiết

(\forall x)((x \in y) \Leftrightarrow \mathbf{R}), \ (\forall x)((x \in z) \Leftrightarrow \mathbf{R}).

Khi đó ta có lần lượt các định lý

(\forall x)(((x \in y) \Leftrightarrow \mathbf{R}) \text{ và } ((x \in z) \Leftrightarrow \mathbf{R})),

(\forall x)((x \in y) \Leftrightarrow (x \in z)),

y \subset z, \qquad z \subset y.

Theo A1 ta có khi đó $y = z$ . Điều này chứng minh C48.

4. Các quan hệ xác định tập

Cho $\mathbf{R}$ là một quan hệ và cho $x$ là một chữ cái. Nếu $y$ và $y'$ là các chữ cái phân biệt với $x$ không xuất hiện trong $\mathbf{R}$ , thì các quan hệ

(\exists y)(\forall x)((x \in y) \Leftrightarrow \mathbf{R}), \ (\exists y')(\forall x)((x \in y') \Leftrightarrow \mathbf{R})

là đồng nhất theo CS8 (Chương I, §4, no. 1). Quan hệ được xác định như vậy (không chứa $x$ ) được ký hiệu bởi $\operatorname{Coll}_xR$ .

¶ Nếu $\operatorname{Coll}_xR$ là một định lý trong một lý thuyết $\mathscr{T}$ , $R$ được gọi là xác định tập theo $x$ trong $\mathscr{T}$ . Khi điều này xảy ra, ta có thể đưa vào một hằng phụ trợ $a$ , phân biệt với $x$ và các hằng của $\mathscr{T}$ , và không xuất hiện trong $R$ , với tiên đề đưa vào $(\forall x)((x \in a) \Longleftrightarrow R)$ , hoặc tương đương (nếu $x$ không phải là một hằng của $\mathscr{T}$ ) $(x \in a) \Longleftrightarrow R$ .

Theo trực giác, nói rằng $R$ là xác định tập theo $x$ có nghĩa là tồn tại một tập hợp $a$ sao cho các đối tượng $x$ có tính chất $R$ chính xác là các phần tử của $a$ .

Ví dụ

Ví dụ 1 03RZ

Quan hệ $x \in y$ rõ ràng là xác định tập theo $x$ .

Ví dụ 2 03S0

Quan hệ $x \neq x$ không xác định tập theo $x$ ; nói cách khác, (not $\operatorname{Coll}_x(x \neq x)$ ) là một định lý. Ta lập luận bằng phản chứng và giả sử rằng $x \neq x$ là xác định tập. Gọi $a$ là một hằng phụ trợ, phân biệt với $x$ và các hằng của lý thuyết, với tiên đề nhập môn

(\forall x)((x \neq x) \Longleftrightarrow (x \in a)).

Khi đó quan hệ

(a \neq a) \Longleftrightarrow (a \in a)

là đúng theo C30 (Chương I, §4, no. 3). Phương pháp phân đôi trường hợp (Chương I, §3, no. 3) chỉ ra trước hết rằng quan hệ $a \neq a$ là đúng, rồi rằng quan hệ $a \in a$ là đúng, điều này là vô lý.

C49. Cho $R$ là một quan hệ và $x$ là một chữ cái. Nếu $R$ là xác định tập theo $x$ , quan hệ $(\forall x)((x \in y) \Longleftrightarrow R)$ , trong đó $y$ là một chữ cái phân biệt với $x$ không xuất hiện trong $R$ , là phiếm hàm theo $y$ .

Điều này suy ra ngay lập tức từ C48.

Rất thường xuyên trong phần tiếp theo, ta sẽ có sẵn một định lý có dạng $\operatorname{Coll}_xR$ . Để biểu diễn số hạng

\tau_y(\forall x)((x \in y) \Longleftrightarrow R),

không phụ thuộc vào sự lựa chọn của chữ cái $y$ (phân biệt với $x$ và không xuất hiện trong $R$ ), ta sẽ đưa vào một ký hiệu phiếm hàm $\mathscr{E}_x(R)$ ; số hạng tương ứng không chứa $x$ . Số hạng này được ký hiệu là “tập hợp tất cả các $x$ sao cho $R$ ”. Theo định nghĩa (Chương I, §4, no. 1) quan hệ

(\forall x)((x \in \mathscr{E}_x(R)) \Longleftrightarrow R)

là đồng nhất với $\mathrm{Coll}_x R$ ; do đó quan hệ $R$ là tương đương với

x \in \mathscr{E}_x(R).

C50. *Cho $R$ , $S$ là hai quan hệ và cho $x$ là một ký hiệu. Nếu $R$ và $S$ xác định tập theo $x$ , quan hệ $(\forall x)(R \Rightarrow S)$ là tương đương với

\mathscr{E}_x(R) \subset \mathscr{E}_x(S),

và quan hệ $(\forall x)(R \Leftrightarrow S)$ là tương đương với $\mathscr{E}_x(R) = \mathscr{E}_x(S)$ .

Điều này suy ra ngay lập tức từ nhận xét trước đó và từ Định nghĩa 1 và tiên đề A1.

5. Tiên đề về tập hợp của hai phần tử

A2. $\qquad\qquad (\forall x)(\forall y)\ \mathrm{Coll}_z(z = x \text{ hoặc } z = y).$

Tiên đề này nói rằng nếu $x$ và $y$ là các đối tượng, thì tồn tại một tập hợp mà các phần tử duy nhất của nó là $x$ và $y$ .

Định nghĩa 2 03H6

Tập hợp $\mathscr{E}_z (z = x \text{hoặc } z = y)$ , có các phần tử duy nhất là $x$ và $y$ , được ký hiệu bởi $\{x, y\}$ .

Quan hệ $z \in \{x, y\}$ do đó tương đương với " $z = x$ hoặc $z = y$ "; từ C50 suy ra rằng $\{y, x\} = \{x, y\}$ .

Cho $R\{z\}$ là một quan hệ và cho $x, y$ là các chữ phân biệt với $z$ . Từ các tiêu chuẩn C32, C33 (Chương I, §4, no. 3), và C43 (Chương I, §5, no. 1) suy ra dễ dàng rằng quan hệ $(\exists z)((z \in \{x, y\})$ và $R\{z\})$ là tương đương với " $R\{x\}$ hoặc $R\{y\}$ "; do đó quan hệ $(\forall z)((z \in \{x, y\}) \Rightarrow R\{z\})$ là tương đương với " $R\{x\}$ và $R\{y\}$ ".

Tập hợp $\{x, x\}$ , được ký hiệu đơn giản là $\{x\}$ , được gọi là tập hợp mà phần tử duy nhất là $x$ ; quan hệ $z \in \{x\}$ tương đương với $z = x$ , và quan hệ $x \in \mathrm{X}$ tương đương với $\{x\} \subset \mathrm{X}$ .

6. Sơ đồ chọn và hợp

Sơ đồ chọn và hợp là như sau :

S8. Cho $R$ là một quan hệ, cho $x$ và $y$ là các chữ phân biệt, và cho $X$ và $Y$ là các chữ phân biệt với $x$ và $y$ không xuất hiện trong $R$ . Khi đó quan hệ

(1) $\quad (\forall y)(\exists X)(\forall x)(R \Rightarrow (x \in X)) \Rightarrow (\forall Y)\ \mathrm{Coll}_X((\exists y)((y \in Y) \text{ và } R))$ là một tiên đề.

Trước hết ta hãy chỉ ra rằng quy tắc này thực sự là một lược đồ. Gọi $S$ là quan hệ (1), và hãy thay một số hạng $T$ cho một chữ cái $z$ trong $S$ ; theo CS8 (chương I, §4, no. 1) ta có thể giả sử rằng $x$ , $y$ , $X$ , $Y$ phân biệt với $z$ và không xuất hiện trong $T$ . Khi đó $(T|z)S$ đồng nhất với

(\forall y)(\exists X)(\forall x)(R' \Rightarrow (x \in X)) \Rightarrow (\forall Y)\ \mathrm{Coll}_X((\exists y)((y \in Y) \text{ và } R')),

trong đó $R'$ là $(T|z)R$ .

Trực giác mà nói, quan hệ $(\forall y)(\exists X)(\forall x)(R \Rightarrow (x \in X))$ có nghĩa là đối với mọi đối tượng $y$ , tồn tại một tập hợp $X$ (có thể phụ thuộc vào $y$ ) sao cho các đối tượng $x$ có quan hệ $R$ với đối tượng $y$ đã cho đều là phần tử của $X$ (nhưng không nhất thiết là toàn bộ $X$ ). Lược đồ chọn và hợp khẳng định rằng nếu trường hợp này xảy ra và nếu $Y$ là một tập hợp bất kỳ, thì tồn tại một tập hợp mà các phần tử của nó chính xác là các đối tượng $x$ có quan hệ $R$ với ít nhất một đối tượng $y$ của tập hợp $Y$ .

C51. Cho $P$ là một quan hệ, cho $A$ là một tập hợp, và cho $x$ là một ký tự không xuất hiện trong $A$ . Khi đó quan hệ " $P$ và $x \in A$ " là xác định tập theo $x$ .

Gọi $R$ là quan hệ " $P$ và $x = y$ ", trong đó $y$ là một ký tự phân biệt với $x$ không xuất hiện trong $P$ cũng như trong $A$ . Quan hệ

(\forall x)(R \Rightarrow (x \in \{y\}))

là đúng theo C27 (Chương I, §4, no. 1). Gọi $X$ là một chữ cái phân biệt với $x$ và $y$ không xuất hiện trong $P$ . Quan hệ trước đó đồng nhất với $(\{y\}|X)((\forall x)(R \Rightarrow (x \in X)))$ (vì $x$ phân biệt với $y$ ), và do đó quan hệ $(\forall y)(\exists X)(\forall x)(R \Rightarrow (x \in X))$ là đúng theo S5 và C27 (Chương I, §4, các số 1 và 2). Suy ra từ S8 và C30 (Chương I, §4, no. 3) rằng quan hệ

(A|Y)\ \mathrm{Coll}x(\exists y)(y \in Y \text{ và } R)

(trong đó $Y$ là một chữ cái không xuất hiện trong $R$ ) là đúng, và quan hệ này đồng nhất với $\mathrm{Coll}_x(\exists y)(y \in A \text{ và } R)$ (vì cả $x$ lẫn $y$ đều không xuất hiện trong $A$ ). Cuối cùng, quan hệ " $y \in A$ và $R$ " là tương đương với " $x = y$ và $x \in A$ và $P$ " theo C43 (Chương I, §5, no. 1); vì $x$ không xuất hiện cả trong $P$ lẫn trong $A$ , quan hệ

(\exists y)(x = y \text{ và } x \in A \text{ và } P)

tương đương với " $((\exists y)(x = y))$ và $x \in A$ và $P$ " theo C33 (Chương I, §4, no. 3) và do đó tương đương với " $P$ và $x \in A$ " vì $(\exists y)(x = y)$ là đúng.

¶ Tập hợp $\mathscr{E}_x(P$ và $x \in A)$ được gọi là tập hợp tất cả $x \in A$ sao cho $P$ (\* do đó ta có thể nói về tập hợp tất cả các số thực sao cho $P_*$ ).

C52. Cho $R$ là một quan hệ, $A$ một tập hợp, và $x$ là một ký hiệu không xuất hiện trong $A$ . Nếu quan hệ $R \Rightarrow (x \in A)$ là một định lý, thì $R$ là xác định tập trong $x$ .

Vì khi đó $R$ tương đương với " $R$ và $x \in A$ ".

Nhận xét 03H7

Cho $R$ là một quan hệ xác định tập theo $x$ , và cho $S$ là một quan hệ sao cho $(\forall x)(S \Rightarrow R)$ là một định lý. Khi đó $S$ xác định tập theo $x$ ; vì $R$ tương đương với $x \in \mathscr{E}_x(R)$ , do đó

S \Rightarrow (x \in \mathscr{E}_x(R))

là một định lý, và mệnh đề suy ra từ C52. Cũng lưu ý rằng trong trường hợp này ta có $\mathscr{E}_X(S) \subset \mathscr{E}_X(R)$ theo C50.

C53. *Cho $T$ là một số hạng, $A$ là một tập hợp, $x$ và $y$ là các chữ cái phân biệt. Giả sử rằng $x$ không xuất hiện trong $A$ và rằng $y$ không xuất hiện trong $A$ cũng như trong $T$ . Khi đó quan hệ $(\exists x)(y = T$ và $x \in A)$ là xác định tập theo $y$ .

Cho $R$ là quan hệ $y = T$ . Quan hệ $(\forall y)(R \Rightarrow (y \in \{T\}))$ là đúng, do đó $(\forall x)(\exists X)(\forall y)(R \Rightarrow (y \in X))$ cũng đúng, trong đó $X$ là một chữ cái, phân biệt với $y$ , không xuất hiện trong $R$ . Theo S8, quan hệ $(\exists x)(x \in A$ and R) là xác định tập theo $y$ , và C53 được chứng minh.

¶ Quan hệ $(\exists x)(y = T$ và $x \in A)$ thường được đọc như sau: " $y$ có thể được đưa về dạng $T$ với một $x$ nào đó thuộc $A$ ". Tập hợp

\mathscr{E}_y((\exists x)(y = T \text{ và } x \in A))

nói chung được gọi là tập hợp các đối tượng có dạng $T$ với $x \in A$ . Tập hợp được ký hiệu như vậy không chứa cả $x$ lẫn $y$ , và không phụ thuộc vào việc lựa chọn chữ cái $y$ thỏa mãn các điều kiện của C53.

7. Phần bù của một tập hợp. Tập rỗng

Quan hệ $(x \notin \mathrm{A}$ và $x \in \mathrm{X})$ là xác định tập theo $x$ bởi C51.

Định nghĩa 3 03H8

Cho* $\mathrm{A}$ là một tập con của một tập hợp $\mathrm{X}$ . Tập hợp các phần tử của $\mathrm{X}$ không thuộc $\mathrm{A}$ , nghĩa là tập hợp $\mathscr{E}x$ $(x \notin \mathrm{A}$ và $x \in \mathrm{X})$ , được gọi là phần bù của $\mathrm{A}$ trong $\mathrm{X}$ , và được ký hiệu bởi $\complement_{\mathrm{X}}\mathrm{A}$ hoặc $\mathrm{X} - \mathrm{A}$ (hoặc bởi $\complement\mathrm{A}$ nếu không có nguy cơ nhầm lẫn).

Cho A là một tập con của một tập hợp X; các quan hệ " $x \in \mathrm{X}$ và $x \notin \mathrm{A}$ " và $x \in \complement_{\mathrm{X}}\mathrm{A}$ khi đó là tương đương. Do đó quan hệ " $x \in \mathrm{X}$ và $x \notin \complement_{\mathrm{X}}\mathrm{A}$ " là tương đương với " $x \in \mathrm{X}$ và $(x \notin \mathrm{X}$ hoặc $x \in \mathrm{A})$ ", do đó với $x \in A$ . Nói cách khác, $A = \complement_X(\complement_X A)$ là một quan hệ đúng. Tương tự, ta chứng minh rằng nếu B là một tập con của X, thì các quan hệ $A \subset B$ và $\complement_X B \subset \complement_X A$ là tương đương.

Định lý 1 03H9

Quan hệ* $(\forall x)(x \notin X)$ là phiếm hàm trong X.

Đối với quan hệ $(\forall x)(x \notin X)$ suy ra $(\forall Y)(X \subset Y)$ ; nhờ tiên đề ngoại diên, quan hệ $(\forall x)(x \notin X)$ do đó là đơn trị theo X. Mặt khác, quan hệ $(\forall x)(x \notin \complement_Y Y)$ là đúng, điều này chứng minh rằng $(\exists X)(\forall x)(x \notin X)$ là đúng.

¶ Số hạng $\tau_x((\forall x)(x \notin X))$ tương ứng với quan hệ phiếm hàm này được biểu diễn bởi ký hiệu phiếm hàm $\emptyset$ , và được gọi là tập rỗng [^1]; quan hệ $(\forall x)(x \notin X)$ , tương đương với $X = \emptyset$ , được đọc như sau: "*tập hợp* X là rỗng". Ta có các định lý $x \notin \emptyset$ , $\emptyset \subset X$ , $\complement_X X = \emptyset$ , $\complement_X \emptyset = X$ . Quan hệ $X \subset \emptyset$ tương đương với $X = \emptyset$ . Nếu $R\{x\}$ là một quan hệ, quan hệ $(\forall x)((x \in \emptyset) \Rightarrow R\{x\})$ là đúng.

Nhận xét 03PB

Không tồn tại tập hợp nào mà mọi đối tượng đều là phần tử của nó; nói cách khác, "not $(\exists X)(\forall x)(x \in X)$ " là một định lý. Bởi vì nếu có một tập hợp như vậy, thì theo C52 mọi quan hệ đều sẽ là xác định tập. Nhưng ta đã thấy (no. 4) rằng quan hệ $x \notin x$ không phải là xác định tập.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 1.

[^1]: Vì thế số hạng được ký hiệu bởi $\emptyset$ là $\tau \neg \neg \in \tau \neg \neg \in \square\square\square$ .