Bài tập 22, § 1

(a) Cho E là một tập hợp có thứ tự. Một tập con U của E được gọi là mở nếu, với mỗi $x \in U$, U chứa khoảng $[x, \rightarrow[$. Một tập mở U được gọi là chính quy nếu không tồn tại một tập mở $V \supset U$, phân biệt với U, sao cho U là đồng cuối trong V. Hãy chứng minh rằng mọi tập mở U đều là đồng cuối trong đúng một tập mở chính quy $\tilde{U}$ [^1]. Ánh xạ $U \rightarrow \tilde{U}$ là tăng. Nếu U, V là hai tập mở sao cho $U \cap V = \emptyset$, thì cũng có $\tilde{U} \cap \tilde{V} = \emptyset$.

(b) Hãy chứng minh rằng tập $R(E)$ gồm các tập con mở chính quy của E, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, là một dàn Boolean đầy đủ (Bài tập 17). Để $R(E)$ có hai phần tử, điều kiện cần và đủ là E không rỗng và có hướng phải.

(c) Nếu F là một tập con đồng cuối của E, hãy chứng minh rằng ánh xạ $U \rightarrow U \cap F$ là một đẳng cấu của $R(E)$ lên $R(F)$.

(d) Nếu $E_1$, $E_2$ là hai tập hợp có thứ tự, thì mọi tập mở trong $E_1 \times E_2$ đều có dạng $U_1 \times U_2$, trong đó $U_i$ là mở trong $E_i$ ($i=1$, 2). Tập $R(E_1 \times E_2)$ là đẳng cấu với $R(E_1) \times R(E_2)$.

[^1]: Thuật ngữ này có thể được biện minh bằng cách nhận xét rằng tồn tại một tôpô duy nhất trên E sao cho các tập mở (tương ứng các tập mở chính quy) là những tập được xác định trong Bài tập 22 (a) (xem General Topology, Chương I, § 1, Bài tập 2 và § 8, Bài tập 20).