Bài tập 1, § 2

Cho $S$ là tập hợp các dấu $\mathsf{P}$, $\mathsf{P}^-$, $\mathsf{X}$, $\mathsf{X}^-$, $x_1$, ..., $x_n$, trong đó các chữ $x_i$ có trọng số 0, $\mathsf{P}$ và $\mathsf{P}^-$ có trọng số 1, còn $\mathsf{X}$, $\mathsf{X}^-$ có trọng số 2. Với mỗi từ $A$ trong $L(S)$, ta định nghĩa phương sai của $A$ như sau: mỗi chữ $x_i$, và các dấu $\mathsf{P}$, $\mathsf{X}$, có phương sai 0; các dấu $\mathsf{P}^-$, $\mathsf{X}^-$ có phương sai 1; phương sai của $A$ là tổng \* (trong trường $\mathbf{F}_2$) \* các phương sai của những dấu xuất hiện trong $A$ (nói cách khác, nó bằng 0 nếu $A$ chứa một số chẵn các dấu có phương sai 1, và bằng 1 trong trường hợp ngược lại).

Một kiểu echelon có dấu là một từ cân bằng $A$ trong $L(S)$ (chương I, phụ lục, no. 3) thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (1) $A$ là một trong các chữ $x_i$; (2) nếu $A$ có dạng $f\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2 \ldots \mathrm{A}_p$ (chương I, phụ lục, no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2), trong đó $f$ là một trong các dấu $\mathsf{P}$, $\mathsf{P}^-$, $\mathsf{X}$, $\mathsf{X}^-$, $p$ bằng 1 hoặc 2 và các $\mathrm{A}_i$ $(1 \leqslant i \leqslant p)$ là các từ cân bằng, thì mỗi $\mathrm{A}_i$ là một kiểu echelon có dấu; hơn nữa, nếu $f = \mathsf{X}$, thì $\mathrm{A}_1$ và $\mathrm{A}_2$ có phương sai 0, còn nếu $f = \mathsf{X}^-$, thì $\mathrm{A}_1$ và $\mathrm{A}_2$ có phương sai 1.

Một kiểu echelon có dấu được gọi là hiệp biến nếu nó có phương sai 0, phản biến nếu nó có phương sai 1. Nếu trong một kiểu echelon có dấu $A$ ta thay $\mathsf{P}^-$ và $\mathsf{X}^-$ lần lượt bởi $\mathsf{P}$ và $\mathsf{X}$, ta được một kiểu echelon $A*$ (§ 1, Bài tập 1). Mỗi hiện thực của kiểu echelon $A*$ trên $n$ phần tử $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$ được gọi là một hiện thực của kiểu echelon có dấu $A$ trên $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$, và được ký hiệu $\mathrm{A}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)$.

Cho $\mathrm{E}_1$, ..., $\mathrm{E}_n$, $\mathrm{E}'_1$, ..., $\mathrm{E}'_n$ là các tập hợp, và cho $f_i$ là một ánh xạ từ $\mathrm{E}_i$ vào $\mathrm{E}'_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$. Chứng minh rằng với mỗi kiểu echelon có dấu $S$ trên $x_1$, ..., $x_n$, ta có thể gắn một ánh xạ $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ có các tính chất sau:

(i) Nếu $S$ là hiệp biến (tương ứng, phản biến), thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ là một ánh xạ từ $\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)$ vào $\mathrm{S}(\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n)$ (tương ứng, từ $\mathrm{S}(\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n)$ vào $\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)$).

nto $\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)$).

(ii) Nếu S là một chữ $x_i$, thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ là $f_i$.

(iii) Nếu S là $\mathsf{P}\mathrm{T}$ (resp. $\mathsf{P}^-\mathrm{T}$), và nếu $g = \{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{T}}$ là một ánh xạ của F vào F′, thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ là mở rộng của $g$ lên các tập hợp của các tập con (resp. mở rộng của $\overset{-1}{g}$ lên các tập hợp của các tập con).

(iv) Nếu S là $\mathsf{X}\mathrm{TU}$ hoặc $\mathsf{X}^-\mathrm{TU}$, nếu $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{T}}$ là một ánh xạ $g : \mathrm{F} \to \mathrm{F}'$ và nếu $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{U}}$ là một ánh xạ $h : \mathrm{G} \to \mathrm{G}'$, thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ là mở rộng $g \times h : \mathrm{F} \times \mathrm{G} \to \mathrm{F}' \times \mathrm{G}'$.

Ánh xạ $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ được gọi là mở rộng chính tắc có dấu của $f_1, \ldots, f_n$ tương ứng với kiểu echelon có dấu S. Nếu S là một kiểu echelon (tức là nếu $\mathsf{P}^-$ và $\mathsf{X}^-$ không xuất hiện trong S), thì mở rộng chính tắc có dấu $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ bằng $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}$.

Chứng minh rằng, nếu $f_i$ là một ánh xạ của $\mathrm{E}_i$ vào $\mathrm{E}'_i$, và nếu $f'_i$ là một ánh xạ của $\mathrm{E}'_i$ vào $\mathrm{E}''_i$ $(1 \leqslant i \leqslant n)$, thì đối với một kiểu echelon có dấu hiệp biến S, ta có

và đối với một kiểu echelon có dấu phản biến, ta có

Suy ra rằng, nếu $f_i$ là một song ánh của $\mathrm{E}_i$ lên $\mathrm{E}'_i$ và nếu $f'_i$ là song ánh ngược của nó $(1 \leqslant i \leqslant n)$, thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ là một song ánh và $\{f'_1, \ldots, f'_n\}^{\mathrm{S}}$ là nghịch đảo của nó. Hơn nữa, nếu $\mathrm{S}^*$ là kiểu echelon (không dấu) tương ứng với kiểu echelon có dấu S, thì $\{f_1, \ldots, f_n\}^{\mathrm{S}}$ bằng $\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}^*}$ hoặc bằng $\langle f'_1, \ldots, f'_n \rangle^{\mathrm{S}^*}$ tùy theo S là hiệp biến hay phản biến.