Mở đầu

Từ thời Hy Lạp, toán học đã gắn liền với chứng minh; và thậm chí có người còn nghi ngờ liệu chứng minh, theo nghĩa chính xác và chặt chẽ mà người Hy Lạp đã gán cho từ này, có tồn tại ngoài toán học hay không. Có thể nói rằng điều này không thay đổi, bởi vì điều từng là một chứng minh đối với Euclid vẫn là một chứng minh đối với chúng ta; và trong những thời kỳ mà khái niệm này có nguy cơ bị quên lãng, và do đó chính toán học cũng bị đe dọa, người ta lại quay về với người Hy Lạp để tìm các mẫu mực về chứng minh. Nhưng di sản đáng kính ấy đã được mở rộng trong một trăm năm qua bằng những bổ sung quan trọng.

Bằng việc phân tích cơ chế của các chứng minh trong những văn bản toán học được chọn thích hợp, người ta đã có thể nhận ra cấu trúc ẩn dưới cả từ vựng lẫn cú pháp. Phân tích này dẫn đến kết luận rằng một văn bản toán học đủ tường minh có thể được diễn đạt bằng một ngôn ngữ quy ước chỉ chứa một số ít “từ” cố định, được ghép lại theo một cú pháp gồm một số ít quy tắc không thể phá vỡ: văn bản như vậy được gọi là hình thức hóa. Mô tả một ván cờ vua, theo ký hiệu thông thường, và một bảng lôgarit là các ví dụ về văn bản hình thức hóa. Các công thức của phép tính đại số thông thường cũng sẽ là một ví dụ khác, nếu các quy tắc chi phối việc dùng dấu ngoặc được hệ thống hóa đầy đủ và tuân thủ nghiêm ngặt; trên thực tế, một số quy tắc ấy không bao giờ được nêu tường minh, và người ta cho phép một vài ngoại lệ đối với chúng.

Việc kiểm tra một văn bản hình thức hóa là một quá trình gần như máy móc, mà các nguyên nhân sai sót khả dĩ duy nhất chỉ là độ dài hoặc mức độ phức tạp của văn bản: đó là lý do vì sao một nhà toán học thường sẽ tin cậy chấp nhận kết quả của một phép tính đại số do người khác thực hiện, miễn là biết rằng phép tính ấy không quá dài và đã được làm cẩn thận. Mặt khác, trong một văn bản chưa hình thức hóa, người ta phải đối mặt với nguy cơ lập luận sai lầm phát sinh, chẳng hạn, từ việc sử dụng trực giác không đúng hoặc lập luận bằng tương tự. Trên thực tế, nhà toán học muốn tự mình thỏa mãn về tính đúng đắn hoàn hảo hay “tính chặt chẽ” của một chứng minh hay một lý thuyết hầu như chẳng bao giờ viện đến một trong các hình thức hóa đầy đủ hiện có ngày nay, thậm chí thường cũng không dùng đến các hình thức hóa chưa đầy đủ và từng phần do giải tích đại số và các phép tính khác cung cấp. Nói chung, ông chỉ bằng lòng đưa phần trình bày tới một điểm mà kinh nghiệm và năng khiếu toán học cho ông biết rằng việc dịch sang ngôn ngữ hình thức sẽ không hơn gì một bài tập về sự kiên nhẫn (mặc dù dĩ nhiên là một bài rất tẻ nhạt). Nếu, như vẫn thường xảy ra, nảy sinh hoài nghi về tính đúng đắn của văn bản đang xét, thì rốt cuộc chúng liên quan đến khả năng dịch nó một cách không mơ hồ sang một ngôn ngữ hình thức hóa như vậy: hoặc vì cùng một từ đã được dùng theo những nghĩa khác nhau tùy theo ngữ cảnh, hoặc vì các quy tắc cú pháp đã bị vi phạm do vô thức dùng những cách lập luận mà chúng không cho phép một cách cụ thể, hoặc cũng vì đã phạm một sai sót thực tế. Ngoài khả năng sau cùng này, quá trình chỉnh sửa, sớm hay muộn, luôn luôn gồm việc xây dựng những văn bản ngày càng tiến gần hơn tới một văn bản hình thức hóa, cho đến khi, theo ý kiến chung của các nhà toán học, sẽ là thừa nếu đi xa hơn nữa theo hướng này. Nói cách khác, tính đúng đắn của một văn bản toán học được kiểm tra bằng cách so sánh nó, một cách tường minh nhiều hay ít, với các quy tắc của một ngôn ngữ hình thức hóa.

Phương pháp tiên đề, nói đúng ra, chẳng qua chỉ là nghệ thuật soạn thảo những văn bản mà việc hình thức hóa chúng, về nguyên tắc, là trực tiếp. Xét như vậy, nó không phải là một phát minh mới; nhưng việc sử dụng một cách hệ thống nó như một công cụ khám phá là một trong những nét độc đáo của toán học đương đại. Xét về việc đọc hay viết một văn bản đã được hình thức hóa, điều quan trọng chẳng đáng kể là gán ý nghĩa này hay ý nghĩa kia cho các từ, hoặc các ký hiệu trong văn bản, hay thậm chí là có gán cho chúng bất kỳ ý nghĩa nào hay không; điểm quan trọng duy nhất là tuân thủ đúng các quy tắc cú pháp. Vì vậy, như mọi người đều biết, cùng một phép tính đại số có thể được dùng để giải các bài toán về pao trọng lượng hay pao sterling, về parabol hay chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Cùng một ưu thế ấy thuộc về mọi văn bản được viết theo phương pháp tiên đề, và vì cùng những lý do đó: một khi các định lý của tôpô đại cương đã được thiết lập, chúng có thể được áp dụng tùy ý cho không gian thường, không gian Hilbert, và nhiều không gian khác. Khả năng gán những ý nghĩa khác nhau cho các từ hay các khái niệm nguyên thủy của một lý thuyết quả là một nguồn làm phong phú quan trọng cho trực giác của nhà toán học, trực giác này không nhất thiết là trực giác không gian hay cảm giác, như đôi khi người ta vẫn tin, mà đúng hơn là một cảm giác nhất định đối với cách ứng xử của các đối tượng toán học, thường được hỗ trợ bởi những hình ảnh đến từ những nguồn rất đa dạng, nhưng trước hết được xây dựng trên kinh nghiệm hằng ngày. Vì thế, người ta thường được dẫn tới việc nghiên cứu có ích những phần của một lý thuyết vốn theo truyền thống bị bỏ quên trong lý thuyết ấy nhưng lại được nghiên cứu một cách hệ thống trong một bối cảnh tiên đề tổng quát, trong đó lý thuyết đã cho là một trường hợp riêng (chẳng hạn, những tính chất có nguồn gốc lịch sử trong một chuyên biệt hóa khác của lý thuyết tổng quát). Hơn nữa — và đó là điều đặc biệt hệ trọng đối với chúng ta trong bộ sách này — phương pháp tiên đề cho phép, khi ta xét đến các đối tượng toán học phức, tách riêng các tính chất của chúng và gom chúng lại quanh một số ít khái niệm: nói cách khác, dùng một từ sẽ được định nghĩa chính xác về sau, phân loại chúng theo cấu trúc mà chúng thuộc về. (Dĩ nhiên, cùng một cấu trúc có thể xuất hiện gắn với nhiều đối tượng toán học khác nhau.) Chẳng hạn, một số tính chất của mặt cầu là tôpô, những tính chất khác là đại số, còn những tính chất khác nữa có thể được xem là thuộc hình học vi phân hoặc lý thuyết các nhóm Lie. Mặc dù nguyên lý này đôi khi có thể trở nên hơi gượng ép khi áp dụng cho những cấu trúc đan xen chặt chẽ, nó là cơ sở cho sự phân chia nội dung của bộ sách này thành các Quyển.

¶ Cũng như nghệ thuật nói đúng một ngôn ngữ đi trước sự ra đời của ngữ pháp, phương pháp tiên đề đã được thực hành từ lâu trước khi các ngôn ngữ hình thức hóa được phát minh; nhưng việc thực hành nó một cách có ý thức chỉ có thể dựa trên sự hiểu biết các nguyên lý chung chi phối những ngôn ngữ ấy và quan hệ của chúng với các văn bản toán học hiện hành. Trong Quyển sách này, mục tiêu đầu tiên của chúng tôi là mô tả một ngôn ngữ như thế, cùng với một trình bày các nguyên lý chung có thể được áp dụng cho nhiều ngôn ngữ tương tự khác; tuy nhiên, một trong những ngôn ngữ ấy luôn luôn sẽ đủ cho các mục đích của chúng tôi. Bởi vì trước kia người ta cho rằng mọi ngành toán học đều phụ thuộc vào những trực giác riêng của mình, vốn cung cấp cho nó các khái niệm và những chân lý nguyên thủy, thì ngày nay người ta biết rằng, xét về mặt lôgic, hầu như toàn bộ toán học đã biết có thể được suy ra từ một nguồn duy nhất, Lý thuyết Tập hợp. Vì vậy, đối với mục đích của chúng tôi, chỉ cần mô tả các nguyên lý của một ngôn ngữ hình thức hóa duy nhất, chỉ ra Lý thuyết Tập hợp có thể được viết như thế nào trong ngôn ngữ này, rồi sau đó cho thấy các ngành khác nhau của toán học, trong chừng mực chúng tôi xét đến chúng trong bộ sách này, ăn khớp như thế nào với khuôn khổ ấy. Làm như vậy, chúng tôi không tự nhận đặt ra những quy tắc cho muôn đời. Có thể đến một ngày nào đó trong tương lai, các nhà toán học sẽ đồng ý sử dụng những cách lập luận không thể hình thức hóa trong ngôn ngữ được mô tả ở đây : khi ấy, nếu không phải thay đổi hoàn toàn ngôn ngữ, thì ít nhất cũng phải mở rộng các quy tắc cú pháp của nó. Nhưng điều đó để tương lai quyết định.

Tự nó nói lên rằng, việc mô tả ngôn ngữ hình thức hóa được thực hiện bằng ngôn ngữ thông thường, cũng như các luật cờ vua vậy. Chúng tôi không định đi vào bàn luận những vấn đề tâm lý và siêu hình làm nền cho việc dùng ngôn ngữ thông thường trong những hoàn cảnh như thế (chẳng hạn, khả năng nhận ra rằng một chữ cái của bảng chữ cái là “giống nhau” ở hai vị trí khác nhau trên trang, v.v.). Hơn nữa, hầu như không thể tiến hành một mô tả như thế mà không dùng đến phép đánh số. Một số người phản đối rằng việc dùng các số trong một ngữ cảnh như vậy là đáng ngờ, thậm chí gần như là petitio principii. Tuy nhiên, điều rõ ràng là trên thực tế chúng ta chỉ dùng các số như những dấu hiệu (và xét cho cùng, ta cũng có thể thay chúng bằng những ký hiệu khác, chẳng hạn như màu sắc hoặc chữ cái), và rằng khi đánh số các ký hiệu xuất hiện trong một công thức được viết tường minh, chúng ta không hề dùng đến bất kỳ lập luận toán học nào. Chúng tôi sẽ không đi vào câu hỏi giảng dạy các nguyên lý của một ngôn ngữ hình thức hóa cho những thực thể mà sự phát triển trí tuệ của chúng chưa đạt đến giai đoạn có thể đọc, viết và đếm.

Nếu toán học được hình thức hóa đơn giản như trò chơi cờ vua, thì một khi ngôn ngữ hình thức hóa mà chúng ta đã chọn đã được mô tả, chỉ còn lại việc viết ra các chứng minh của chúng ta trong ngôn ngữ này, cũng như tác giả của một sách cờ viết xuống bằng ký hiệu của mình những ván cờ mà ông định giảng dạy, kèm theo chú giải khi cần. Nhưng sự việc xa mới đơn giản như thế, và không cần kinh nghiệm lớn cũng có thể nhận ra rằng một dự án như vậy hoàn toàn không thể thực hiện được : ngay cả chứng minh nhỏ nhất ở đầu cuốn Lý thuyết tập hợp cũng đã đòi hỏi vài trăm ký hiệu để hình thức hóa đầy đủ. Do đó, từ Quyển I của loạt sách này trở đi, cần phải cô đọng văn bản hình thức hóa bằng cách đưa vào một số khá lớn những từ mới (gọi là ký hiệu viết tắt) và những quy tắc cú pháp bổ sung (gọi là tiêu chuẩn suy diễn). Làm như vậy, ta thu được những ngôn ngữ dễ sử dụng hơn nhiều so với ngôn ngữ hình thức hóa theo nghĩa chặt của nó. Bất kỳ nhà toán học nào cũng sẽ đồng ý rằng các ngôn ngữ cô đọng này có thể chỉ được xem như những bản ghi chép tắt của ngôn ngữ hình thức hóa ban đầu. Nhưng khi đó ta không còn chắc chắn rằng sự chuyển từ một trong các ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác có thể được thực hiện một cách thuần túy cơ học nữa : vì để đạt được sự chắc chắn ấy, cần phải làm phức tạp các quy tắc cú pháp chi phối việc sử dụng những quy tắc mới đến mức tính hữu ích của chúng trở nên hão huyền; cũng như trong phép tính đại số và trong hầu như mọi kiểu ký hiệu thường dùng bởi các nhà toán học, một công cụ dùng được tốt hơn một công cụ về mặt lý thuyết hoàn hảo hơn nhưng trong thực hành lại cồng kềnh hơn nhiều.

Như người đọc sẽ thấy, việc đưa vào ngôn ngữ cô đọng này đi kèm với những “lập luận” thuộc một kiểu đặc biệt, thuộc cái được gọi là siêu toán học. Bộ môn này hoàn toàn bỏ qua mọi ý nghĩa vốn có thể đã được gán ban đầu cho các từ hoặc các cụm từ của văn bản toán học hình thức hóa, và coi các văn bản ấy như những đối tượng đặc biệt đơn giản, cụ thể là như những tập hợp của các đối tượng đã cho trước, trong đó chỉ có thứ tự được ấn định là quan trọng. Hơn nữa, cũng như chẳng hạn một giáo trình hóa học báo trước kết quả của một thí nghiệm được thực hiện dưới những điều kiện đã cho, thì những “lập luận” siêu toán học thường khẳng định rằng khi một chuỗi thao tác đã được thực hiện trên một văn bản thuộc một kiểu đã cho, thì văn bản cuối cùng sẽ thuộc một kiểu khác đã cho. Trong những trường hợp đơn giản nhất, các khẳng định ấy quả thực chỉ là những điều hiển nhiên thuần túy nhất (chẳng hạn so với điều sau đây : “nếu một túi quân đếm chứa các quân đen và các quân trắng, và nếu ta thay tất cả các quân đen bằng quân trắng, thì trong túi sẽ chỉ còn các quân trắng”). Nhưng rất nhanh chóng ta gặp những ví dụ trong đó lập luận mang một bước ngoặt điển hình của toán học, và việc dùng các số nguyên tùy ý cùng quy nạp toán học chiếm ưu thế. Mặc dù chúng ta đã bác bỏ phản đối nêu trước đó đối với việc dùng phép đếm trong mô tả một ngôn ngữ hình thức hóa, ở đây không còn thể phủ nhận nguy cơ đánh tráo giả thiết nữa, vì ngay từ đầu dường như ta đang sử dụng mọi nguồn lực của số học, mà trong số đó (giữa những việc khác) về sau ta dự định sẽ đặt nền móng. Đối với phản đối này, đôi khi người ta đáp rằng những lập luận kiểu đó chỉ mô tả các thao tác có thể thật sự được thực hiện và kiểm tra, và vì lẽ đó chúng mang sức thuyết phục của một loại khác với loại có thể dành cho toán học đúng nghĩa. Nhưng có vẻ đơn giản hơn nếu nói rằng ta có thể tránh tất cả những lập luận siêu toán học ấy nếu văn bản hình thức hóa được viết ra một cách tường minh : thay vì dùng “các tiêu chuẩn suy diễn”, mỗi lần ta sẽ phải làm lại những chuỗi thao tác mà mục đích của các tiêu chuẩn ấy là rút gọn bằng cách dự báo kết quả của chúng. Nhưng toán học hình thức hóa không thể, trong thực hành, được viết ra đầy đủ, và do đó ta phải đặt niềm tin vào cái có thể gọi là lẽ thường của nhà toán học : một niềm tin tương tự như niềm tin mà một người tính toán hay một kỹ sư dành cho một công thức hoặc một bảng số mà không hề ý thức đến sự tồn tại của các tiên đề Peano, và xét đến cùng được đặt trên sự hiểu biết rằng nó chưa bao giờ bị thực tế bác bỏ.

Do đó, chúng ta sẽ rất nhanh từ bỏ toán học hình thức hóa, nhưng không phải trước khi đã cẩn thận lần theo con đường dẫn trở lại nó. Những “lạm dụng ngôn ngữ” đầu tiên như thế được đưa vào sẽ cho phép chúng ta viết phần còn lại của loạt sách này (và đặc biệt là Bản tóm tắt các kết quả của Quyển I) theo cùng một cách như mọi văn bản toán học vốn được viết trong thực hành, tức là một phần bằng ngôn ngữ thông thường và một phần bằng các công thức tạo thành những hình thức hóa từng phần, riêng lẻ, và chưa đầy đủ, mà những ví dụ nổi tiếng nhất là các công thức của phép tính đại số. Đôi khi chúng ta sẽ dùng ngôn ngữ thông thường một cách lỏng lẻo hơn, bằng những lạm dụng ngôn ngữ có chủ ý, bằng cách đơn giản bỏ qua những đoạn mà có thể yên tâm giả định rằng người đọc có thể dễ dàng tự khôi phục, và bằng những chỉ dẫn không thể dịch sang ngôn ngữ hình thức hóa nhưng được dùng để giúp người đọc tái dựng văn bản đầy đủ. Những đoạn khác, cũng không thể dịch sang ngôn ngữ hình thức hóa, được đưa vào nhằm làm sáng tỏ các ý tưởng liên quan, nếu cần thì bằng cách viện đến trực giác của người đọc; việc sử dụng những phương tiện tu từ này hoàn toàn hợp lệ, miễn là khả năng hình thức hóa văn bản vẫn không thay đổi. Những ví dụ đầu tiên của điều này sẽ xuất hiện trong Chương III của Quyển này, chương trình bày lý thuyết về số nguyên và số lực lượng.

Thus, được viết theo phương pháp tiên đề và luôn luôn giữ trong tầm nhìn, như thể ở trên đường chân trời, khả năng hình thức hóa đầy đủ, bộ sách của chúng tôi đòi hỏi sự chặt chẽ hoàn hảo : một đòi hỏi hoàn toàn không bị bác bỏ bởi những xem xét trên đây, cũng không bởi nhu cầu sửa các sai sót thỉnh thoảng lọt vào văn bản.

¶ Chúng tôi có cùng một thái độ thực tại đối với vấn đề tính không mâu thuẫn (hay phi mâu thuẫn). Vấn đề này là một trong những mối quan tâm chính của các nhà logic học hiện đại, và một phần chịu trách nhiệm cho sự ra đời của các ngôn ngữ được hình thức hóa (cf. Ghi chú lịch sử). Một lý thuyết toán học được gọi là mâu thuẫn nếu trong lý thuyết đó đã chứng minh được cả một định lý lẫn phủ định của nó; từ các quy tắc lập luận thông thường, vốn là cơ sở của các quy tắc cú pháp trong các ngôn ngữ được hình thức hóa, suy ra rằng mọi định lý vừa đúng vừa sai trong lý thuyết, và do đó lý thuyết ấy không có gì đáng quan tâm. Vì vậy, nếu chúng ta bị dẫn một cách ngoài ý muốn tới một mâu thuẫn, chúng ta không thể để nó tồn tại mà không làm cho lý thuyết trong đó nó xuất hiện trở nên vô ích.

Liệu chúng ta có thể chắc chắn rằng điều này sẽ không bao giờ xảy ra không? Không đi vào một bàn luận — điều này nằm ngoài thẩm quyền của chúng tôi — về chính khái niệm chắc chắn, ta có thể nhận thấy rằng siêu toán học có thể tự đặt cho mình nhiệm vụ khảo sát các vấn đề về tính nhất quán bằng các phương pháp của chính nó. Nói rằng một lý thuyết là mâu thuẫn thực chất có nghĩa là nó chứa một chứng minh hình thức hóa đúng dẫn đến kết luận $0 \ne 0$. Bây giờ siêu toán học có thể thử, bằng cách dùng những phương pháp lập luận vay mượn từ toán học, khảo sát cấu trúc của một văn bản được hình thức hóa như thế, với hy vọng “chứng minh” rằng không thể tồn tại một văn bản như vậy. Thực tế đã có những “chứng minh” như thế cho một số ngôn ngữ hình thức hóa bộ phận, ít phong phú hơn ngôn ngữ mà chúng tôi dự định đưa vào, nhưng vẫn đủ phong phú để diễn đạt một phần tốt của toán học cổ điển. Dĩ nhiên, ta có thể hợp lý mà hỏi thực ra điều gì đã được “chứng minh” theo cách ấy : vì nếu toán học là mâu thuẫn, thì một số ứng dụng của nó vào các đối tượng vật chất, và đặc biệt vào các văn bản được hình thức hóa, sẽ có nguy cơ chỉ là ảo tưởng. Để thoát khỏi nan đề này, tính nhất quán của một ngôn ngữ hình thức hóa sẽ phải được “chứng minh” bằng những lập luận có thể được hình thức hóa trong một ngôn ngữ ít phong phú hơn và do đó đáng tin cậy hơn; nhưng một định lý nổi tiếng của siêu toán học, do Gödel, khẳng định rằng điều này là bất khả đối với một ngôn ngữ thuộc kiểu mà chúng tôi sẽ mô tả, vốn đủ phong phú về các tiên đề để cho phép phát biểu các kết quả của số học cổ điển.

Mặt khác, trong các chứng minh về tính nhất quán “tương đối” (nghĩa là những chứng minh xác lập tính nhất quán của một lý thuyết trên giả thiết rằng một lý thuyết khác nào đó, chẳng hạn lý thuyết tập hợp, là không mâu thuẫn), phần siêu toán học của lập luận (cf. Chương I, § 2, no. 4) đơn giản đến mức dường như hầu như không thể phủ nhận nó mà không từ bỏ mọi cách dùng hợp lý các năng lực trí tuệ của chúng ta. Vì các lý thuyết toán học khác nhau hiện nay đã được gắn kết về mặt logic với Lý thuyết Tập hợp, suy ra rằng mọi mâu thuẫn gặp phải trong một hay một lý thuyết nào khác trong số ấy đều phải làm nảy sinh một mâu thuẫn trong chính Lý thuyết Tập hợp. Dĩ nhiên, đây không phải là một lập luận từ đó ta có thể suy ra tính nhất quán của Lý thuyết Tập hợp. Tuy nhiên, trong nửa thế kỷ kể từ khi các tiên đề của lý thuyết này lần đầu tiên được phát biểu chính xác, các tiên đề ấy đã được áp dụng để rút ra các kết luận trong những ngành toán học đa dạng nhất mà không dẫn tới mâu thuẫn, nên chúng ta có cơ sở để hy vọng rằng sẽ không bao giờ có mâu thuẫn phát sinh.

Nếu ngược lại, điều đó có nghĩa là mâu thuẫn quan sát được vốn có ngay trong các nguyên lý cơ bản của Lý thuyết Tập hợp; do đó, các nguyên lý này sẽ cần được sửa đổi, nếu có thể mà không làm tổn hại những phần của toán học mà chúng ta muốn giữ lại nhất, và rõ ràng là công việc sửa đổi sẽ được làm dễ hơn nhờ việc sử dụng phương pháp tiên đề và ngôn ngữ được hình thức hóa, những thứ cho phép chúng ta phát biểu các nguyên lý ấy chính xác hơn và tách ra các hệ quả của chúng rõ ràng hơn. Thật vậy, đây đại thể là điều đã xảy ra trong thời gian gần đây, khi các “nghịch lý” của Lý thuyết Tập hợp được loại bỏ bằng cách chấp nhận một ngôn ngữ hình thức hóa về cơ bản tương đương với ngôn ngữ mà chúng tôi sẽ mô tả ở đây; và một cuộc sửa đổi tương tự cũng sẽ phải được tiến hành nếu ngôn ngữ này đến lượt nó lại chứng tỏ là mâu thuẫn.

Tóm lại, chúng tôi tin rằng toán học được định mệnh là sẽ tồn tại, và rằng những phần cốt yếu của công trình vĩ đại này sẽ không bao giờ sụp đổ do sự xuất hiện đột ngột của một mâu thuẫn; nhưng chúng tôi không thể giả vờ rằng ý kiến ấy dựa trên gì khác hơn là kinh nghiệm. Có người sẽ nói rằng đó là sự an ủi ít ỏi; nhưng suốt hai nghìn năm trăm năm nay, các nhà toán học đã sửa chữa sai lầm của mình, nhờ đó khoa học của họ không những không bị nghèo đi mà còn được làm giàu thêm; và điều đó cho họ quyền đối diện tương lai với tâm thế bình thản.