Gửi bạn đọc

1. Bộ sách này, danh mục được cho ở các trang vii và viii, bắt đầu từ điểm khởi đầu của toán học và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Về nguyên lý, nó không đòi hỏi nơi bạn đọc một kiến thức toán học riêng biệt nào, mà chỉ đòi hỏi một sự quen thuộc nhất định với lập luận toán học và một năng lực tư duy trừu tượng nhất định. Tuy nhiên, nó đặc biệt hướng tới những người đã có kiến thức tốt ít nhất về nội dung của năm đầu hoặc hai năm đầu của một khóa học toán ở đại học.

2. Phương pháp trình bày mà chúng tôi đã chọn là tiên đề hóa và trừu tượng, và thông thường đi từ cái tổng quát đến cái riêng biệt. Sự lựa chọn này được quy định bởi mục đích chính của bộ chuyên khảo, là cung cấp một nền tảng vững chắc cho toàn bộ toán học hiện đại. Vì vậy, điều không thể thiếu là phải trở nên quen thuộc với một số khá lớn các ý tưởng và nguyên lý rất tổng quát. Hơn nữa, những đòi hỏi của chứng minh áp đặt một thứ tự được xác định một cách chặt chẽ lên tài liệu của môn học. Do đó, ích lợi của một số nhận xét nào đó sẽ không hiện ra ngay lập tức đối với bạn đọc, trừ khi người ấy đã có sẵn một kiến thức toán học khá rộng; nếu không, người ấy phải có sự kiên nhẫn để tạm đình chỉ phán đoán cho đến khi dịp thích hợp xuất hiện.

3. Để giảm bớt bất lợi này, chúng tôi đã thường xuyên chèn vào văn bản những ví dụ liên quan đến các sự kiện mà bạn đọc có thể đã biết nhưng chưa được bàn đến trong bộ sách. Những ví dụ như vậy luôn luôn được đặt giữa hai dấu hoa thị: \* ... \*. Phần lớn bạn đọc chắc chắn sẽ thấy rằng các ví dụ ấy sẽ giúp họ hiểu văn bản, và sẽ muốn không bỏ qua chúng, ngay cả trong lần đọc đầu tiên. Việc bỏ qua chúng dĩ nhiên sẽ không có bất lợi nào, nếu nhìn từ một quan điểm thuần túy lôgic.

4. Bộ sách này được chia thành các tập (ở đây gọi là các “Sách”). Sáu Sách đầu tiên được đánh số và, nói chung, mọi mệnh đề trong văn bản

v giả thiết là đã biết chỉ những kết quả đã được bàn đến trong các tập đi trước. Quy tắc này vẫn đúng trong nội bộ mỗi Sách, nhưng để thuận tiện cho việc trình bày, các Sách ấy không còn được sắp xếp theo một thứ tự liên tiếp nữa. Ở đầu mỗi Sách này (hoặc của các chương này), bạn đọc sẽ thấy một chỉ dẫn chính xác về mối liên hệ lôgic của nó với các Sách khác và do đó sẽ có thể tự mình xác nhận sự vắng mặt của bất kỳ vòng luẩn quẩn nào.

5. Khung lôgic của mỗi chương bao gồm các định nghĩa, các tiên đề và các định lý của chương. Đó là những phần chủ yếu phải được ghi nhớ để dùng về sau. Các kết quả kém quan trọng hơn và những kết quả có thể suy ra dễ dàng từ các định lý thì được gắn nhãn là “mệnh đề”, “bổ đề”, “hệ quả”, “nhận xét”, v.v. Những kết quả nào có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên thì được in chữ nhỏ. Phần bình luận về một định lý đặc biệt quan trọng thỉnh thoảng xuất hiện dưới tên gọi “chú giải”.

Để tránh những lặp lại tẻ nhạt, đôi khi thuận tiện khi đưa vào các ký hiệu hoặc các chữ viết tắt chỉ có hiệu lực trong một chương nhất định hoặc một tiết diện nhất định của một chương (chẳng hạn, trong một chương chỉ xét các vành giao hoán, từ “vành” sẽ luôn có nghĩa là “vành giao hoán”). Những quy ước như vậy luôn luôn được nói rõ một cách tường minh, nói chung ở đầu chương nơi chúng xuất hiện.

6. Một số đoạn trong văn bản nhằm báo trước cho bạn đọc tránh khỏi những sai lầm nghiêm trọng. Những đoạn này được đánh dấu ở lề bằng ký hiệu

☡

(“khúc quanh nguy hiểm”).

7. Các Bài tập được đặt ra vừa để giúp bạn đọc tự xác nhận rằng mình đã lĩnh hội văn bản, vừa để lưu ý họ đến những kết quả không có chỗ trong văn bản nhưng dù sao vẫn có ý nghĩa. Những bài tập khó nhất mang dấu ¶.

8. Nói chung, chúng tôi đã tuân theo thuật ngữ được chấp nhận thông dụng, trừ những chỗ dường như có lý do xác đáng để đi chệch khỏi nó.

9. Chúng tôi đã đặc biệt cố gắng luôn luôn dùng một ngôn ngữ chặt chẽ đúng đắn, mà không hy sinh sự đơn giản. Trong mức có thể, chúng tôi đã lưu ý trong văn bản đến các lạm dụng ngôn ngữ, điều mà nếu không có thì bất kỳ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở nên kiểu cách, chưa kể đến khó đọc.

10. Vì về nguyên lý văn bản bao gồm sự trình bày có tính giáo điều của một lý thuyết, nên nói chung nó không chứa các dẫn chiếu đến tài liệu. Các tài liệu tham khảo thư mục được tập hợp lại trong các Ghi chú lịch sử, thường ở cuối mỗi chương. Những ghi chú này cũng chứa các chỉ dẫn, khi thích hợp, về các bài toán chưa giải được của lý thuyết.

VI

Thư mục theo sau mỗi ghi chú lịch sử nói chung chỉ chứa những cuốn sách và những hồi ký gốc đã có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang được bàn đến. Nó hoàn toàn không hề có tham vọng đầy đủ; đặc biệt, những tài liệu tham khảo chỉ nhằm xác định các vấn đề về quyền ưu tiên thì hầu như luôn luôn bị bỏ đi. Còn về các bài tập, nói chung chúng tôi thấy không đáng để chỉ ra nguồn gốc của chúng, vì chúng đã được lấy từ nhiều nguồn rất khác nhau (các bài báo gốc, giáo trình, các tuyển tập bài tập).

11. Các dẫn chiếu đến một phần của bộ sách này được cho như sau : a) Nếu dẫn chiếu đến các định lý, tiên đề hoặc định nghĩa được trình bày trong cùng một tiết diện, thì chúng được trích dẫn bằng số của chúng. b) Nếu chúng xuất hiện trong một tiết diện khác của cùng một chương, thì tiết diện này cũng được trích dẫn trong dẫn chiếu. c) Nếu chúng xuất hiện trong một chương khác của cùng một Sách, thì chương và tiết diện được trích dẫn. d) Nếu chúng xuất hiện trong một Sách khác, thì trước hết Sách này được trích dẫn bằng nhan đề của nó.

Các Tóm tắt các Kết quả được trích dẫn bằng chữ cái R : như vậy LÝ THUYẾT TẬP HỢP, R có nghĩa là “Tóm tắt các Kết quả của Lý thuyết Tập hợp”.

Mục lục

Của

Bộ các yếu tố toán học

I. Lý thuyết tập hợp

1. Mô tả toán học hình thức. 2. Lý thuyết tập hợp. 3. Tập hợp có thứ tự; lực lượng; các số tự nhiên. 4. Cấu trúc.

Ii. Đại số

1. Cấu trúc đại số. 2. Đại số tuyến tính. 3. Đại số tenxơ, đại số ngoài, đại số đối xứng. 4. Đa thức và phân thức hữu tỉ. 5. Trường. 6. Nhóm và trường có thứ tự. 7. Môđun trên các vành iđêan chính. 8. Môđun và vành nửa đơn. 9. Dạng sesquilinear và dạng toàn phương.

VII