Bài tập 2, § 5

Cho $N$ là một siêu phẳng trong một không gian con vectơ $M$ của một không gian vectơ $E$ và cho $A$ là một tập hợp lồi trong $E$, sao cho mọi điểm của $A \cap M$ đều nằm về cùng một phía của $N$ và đồng thời có tính chất sau đây; với mọi $y \neq 0$ trong $E$, tồn tại $x \in A \cap M$ sao cho $x + \lambda y \in A$ với mọi $\lambda$ sao cho $|\lambda|$ đủ nhỏ. Chứng minh rằng khi đó tồn tại một siêu phẳng $H$ của $E$ sao cho mọi điểm của $A$ đều nằm về cùng một phía của $H$ và sao cho $H \cap M = N$. (Rút gọn về trường hợp $N = \{0\}$; nếu $a \neq 0$ thuộc $A \cap M$, xét tập hợp $\mathscr{U}$ các nón lồi nhọn có đỉnh 0 chứa $A$ và không chứa $-a$; chứng minh rằng tồn tại một phần tử cực đại $C$ của $\mathscr{U}$ và rằng $C$ là một nón lồi nhọn cực đại (bài tập 1)). Suy ra một chứng minh mới của định lý Hahn-Banach.