Exercice 2, § 5

Soient E un espace vectoriel, M un sous-espace vectoriel de E, N un hyperplan dans M, A un ensemble convexe dans E, tel que tous les points de $A \cap M$ soient d’un même côté de N, et qui possède en outre la propriété suivante : quel que soit $y \neq 0$ dans E, il existe $x \in A \cap M$ tel que $x + \lambda y \in A$ pour tout $\lambda$ tel que $|\lambda|$ soit assez petit. Montrer qu’il existe alors un hyperplan H de E tel que tous les points de A soient d’un même côté de H et que l’on ait $H \cap M = N$. (Se ramener au cas où $N = \{0\}$; si $a \neq 0$ appartient à $A \cap M$, considérer l’ensemble $U$ des cônes convexes pointés de sommet 0 contenant A et ne contenant pas $-a$; montrer qu’il existe un élément maximal C de $U$ et que C est un cône convexe pointé maximal (exerc. 1).) En déduire une nouvelle démonstration du th. de Hahn-Banach.