Bài tập 21, § 5

(a) Trong $\mathbf{R}^n$, cho $a_i$ ($1 \leq i \leq n + 1$) là $n + 1$ điểm độc lập afin. Ký hiệu bao lồi của các $a_i$ bởi S và bao lồi của các $a_i$ với $i \neq k$ bởi $F_k$ với $1 \leq k \leq n + 1$. Với mỗi k, cho $C_k$ là một tập hợp lồi compact chứa $F_k$, và giả sử rằng S được chứa trong hợp của các $C_k$; hãy chứng minh rằng $\bigcap_{k=1}^{n+1} C_k \neq \varnothing$. (Lập luận bằng phản chứng và quy nạp trên $n$, xét giao $C'_{n+1}$ của các $C_i$ với các chỉ số $i \leq n$ và giả sử rằng $C_{n+1} \cap C'_{n+1} = \varnothing$, điều này sẽ cho phép tách ngặt hai tập hợp lồi bằng một siêu phẳng.) b) Cho X là một tập hợp lồi compact trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, và $(C_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các tập hợp lồi compact được chứa trong X, sao cho với mọi tập hợp $H \subset L$ có $n$ (tương ứng m) phần tử, giao (tương ứng hợp) của các $C_\lambda$ với các chỉ số $\lambda \in H$ là không rỗng (tương ứng bằng X). Hãy chứng minh rằng nếu $m \leq n + 1$ thì giao $\bigcap_{\lambda \in L} C_\lambda$ là không rỗng. (Điều này thực chất là chứng minh rằng với mọi tập hợp hữu hạn H gồm $p \geq m$ chỉ số của L, ta có $\bigcap_{\lambda \in H} C_\lambda \neq \varnothing$. Lập luận bằng quy nạp trên $p$, giả sử rằng kết quả đã được chứng minh cho $p - 1$ chỉ số. Sau đó lập luận bằng phản chứng, xét với mỗi chỉ số $i \in H$ một điểm $a_i \in \bigcap_{\lambda \in H - \{i\}} C_\lambda$, và chứng minh nhờ định lý Helly (II, p. 68, bài tập 21) rằng các $a_i$ sinh một đa tạp tuyến tính có chiều $p - 1$, rồi cuối cùng áp dụng a).)