Exercice 21, § 5

a) Dans $\mathbf{R}^n$, soient $a_i$ ($1 \leq i \leq n + 1$) $n + 1$ points affinement indépendants, $S$ l’enveloppe convexe de l’ensemble des $a_i$, et pour $1 \leq k \leq n + 1$, soit $F_k$ l’enveloppe convexe de l’ensemble des $a_i$ d’indice $i \neq k$. Pour tout $k$, soit $C_k$ un ensemble convexe compact contenant $F_k$, et supposons que $S$ soit contenu dans la réunion des $C_k$; montrer alors que l’on a $\bigcap_{k=1}^{n+1} C_k \neq \varnothing$. (Raisonner par l’absurde et par récurrence sur $n$, en considérant l’intersection $C_{n+1}'$ des $C_i$ d’indice $i \leq n$, et en supposant que $C_{n+1} \cap C_{n+1}' = \varnothing$, ce qui permet de séparer strictement ces deux ensembles convexes par un hyperplan.) b) Dans un espace vectoriel topologique séparé $E$, soient $X$ un ensemble compact convexe, $(C_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille d’ensembles convexes compacts contenus dans $X$, tels que pour toute partie $H \subset L$ ayant $n$ (resp. $m$) éléments, l’intersection (resp. la réunion) des $C_\lambda$ d’indice $\lambda \in H$ soit non vide (resp. soit égale à $X$). Montrer que si $m \leq n + 1$, l’intersection $\bigcap_{\lambda \in L} C_\lambda$ n’est pas vide. (Se ramener à prouver que pour toute partie finie $H$ de $p \geq m$ indices de $L$, on a $\bigcap_{\lambda \in H} C_\lambda \neq \varnothing$. Raisonner par récurrence sur $p$, supposant le résultat prouvé pour $p - 1$ indices. Raisonner alors par l’absurde, en considérant pour chaque indice $i \in H$ un point $a_i \in \bigcap_{\lambda \in H - \{i\}} C_\lambda$, et en montrant, à l’aide du th. de Helly (II, p. 73, exerc. 21) que les $a_i$ engendrent une variété linéaire de dimension $p - 1$, puis en appliquant enfin $a$.)