Bài tập 24, § 5

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương, mêtric hóa được, vô hạn chiều. a) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(a_n)$ các điểm của $E$ dần tới 0 và một dãy giảm $(L_n)$, gồm các không gian con vectơ đóng của $E$, sao cho $L_n$ có đối chiều $n$ trong $E$ và với mọi $n$, điểm $a_n$ thuộc $L_n - L_{n+1}$. b) Giả sử thêm rằng $E$ là đầy đủ. Chứng minh rằng khi đó ta có thể tìm được các dãy $(a_n)$ và $(L_n)$ thỏa mãn các điều kiện a), và sao cho ngoài ra, với mọi dãy bị chặn các số thực $(\lambda_n)$, chuỗi mà số hạng tổng quát là $\lambda_n a_n$ là hội tụ giao hoán trong $E$, và ánh xạ tuyến tính $(\xi_n) \mapsto \sum \xi_n a_n$ từ không gian Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ vào $E$ là đơn ánh và liên tục. c) Suy ra từ b) rằng khi $E$ là một không gian Fréchet vô hạn chiều thì mọi cơ sở của $E$ trên $\mathbf{R}$ có lực lượng ít nhất bằng $2^{Card(\mathbf{N})}$ (cf. I, p. 22, exerc. 5). Nếu tồn tại một tập hợp đếm được trù mật trong $E$, thì mọi cơ sở của $E$ có lực lượng của continuum.