Exercice 24, § 5

Soit E un espace localement convexe métrisable de dimension infinie. a) Montrer qu’il existe une suite $(a_n)$ de points de E tendant vers 0 et une suite décroissante $(L_n)$ de sous-espaces vectoriels fermés de E, telles que $L_n$ soit de codimension $n$ dans E et que, pour tout $n$, $a_n$ appartienne à $L_n \cap \bigcap_{k > n} L_{n+1}$. b) On suppose de plus que E soit complet. Montrer qu’on peut alors déterminer les suites $(a_n)$ et $(L_n)$ vérifiant les conditions de a), et de sorte qu’en outre, pour toute suite bornée $(\lambda_n)$ de nombres réels, la série de terme général $\lambda_n a_n$ soit commutativement convergente dans E, et que l’application linéaire $(\xi_n) \mapsto \sum_n \xi_n a_n$ de l’espace de Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ dans E soit injective et continue. c) Déduire de b) que lorsque E est un espace de Fréchet de dimension infinie, toute base de E sur $\mathbf{R}$ a un cardinal au moins égal à $2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$ (cf. I, p. 23, exerc. 5). Lorsqu’il existe dans E un ensemble dénombrable partout dense, toute base de E a la puissance du continu.