Bài tập 26, § 5

Cho $E$ là một không gian Fréchet vô hạn chiều kiểu đếm được. a) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(a_n)$ gồm các phần tử độc lập tuyến tính của $E$ sao cho mỗi dãy $(a_{2n})$ và $(a_{2n+1})$ đều là toàn phần (dùng bài tập 24, c). b) Cho $F$ là không gian con vectơ của $E$ sinh bởi các $a_{2n+1}$ ($n \in \mathbf{N}$). Với mọi $n > 0$ cho $M_n$ là không gian con sinh bởi các $a_{2k}$ với $k \leq n$. Với mỗi $n$, cho $\phi_n$ là hạn chế lên $F$ của đồng cấu chính tắc của $E$ lên $E/M_n$, và cho $\mathscr{T}_n$ là tôpô trên $F$ là ảnh ngược theo $\phi_n$ của tôpô thương trên $E/M_n$. Chứng minh rằng mỗi tôpô $\mathscr{T}_n$ trên $F$ là một tôpô lồi địa phương Hausdorff, nhưng cận dưới của các $\mathscr{T}_n$ trong tập hợp các tôpô lồi địa phương trên $F$ là tôpô thô nhất trên $F$. \* c) Lấy $E$ là một không gian Hilbert; chứng minh rằng ta có thể chọn dãy $(a_n)$ sao cho nếu $G$ là không gian con vectơ đóng sinh bởi các $a_{4n+1}$, thì $G$ có đối chiều vô hạn và sao cho các ảnh của các $a_{2n}$ và các $a_{4n+3}$ trong $E/G$ vẫn độc lập tuyến tính. Ký hiệu $G_n$ là không gian con của $E$ là tổng của $G$ và không gian con sinh bởi các $a_{4k+3}$ với $k \leq n$, và trang bị cho $G_n$ tôpô là ảnh ngược theo ánh xạ chính tắc hạn chế vào $G_n$, của tôpô thương trên $E/M_n$. Chứng minh rằng dãy $(G_n)$ là một hệ quy nạp của các không gian vectơ tôpô sao cho $G_n$ là đóng trong $G_{n+1}$ đối với tôpô của $G_{n+1}$, nhưng $G_n$ không đóng trong không gian giới hạn quy nạp của dãy này. \*