Exercice 26, § 5

Soit E un espace de Fréchet de dimension infinie de type dénombrable. a) Montrer qu’il existe dans E une suite $(a_n)$ d’éléments linéairement indépendants telle que chacune des suites $(a_{2n})$ et $(a_{2n+1})$ soit totale (utiliser l’exerc. 24, c)). b) Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par les $a_{2n+1}$ ($n \in \mathbf{N}$). Pour tout $n > 0$, soit $M_n$ le sous-espace engendré par les $a_{2k}$ tels que $k \leq n$. Pour tout $n$, soit $\varphi_n$ la restriction à F de l’homomorphisme canonique de E sur $E/M_n$, et soit $\mathscr{T}_n$ la topologie sur F image réciproque par $\varphi_n$ de la topologie quotient sur $E/M_n$. Montrer que chacune des topologies $\mathscr{T}_n$ sur F est une topologie localement convexe séparée, mais que la borne inférieure des $\mathscr{T}_n$ dans l’ensemble des topologies localement convexes sur F est la topologie la moins fine sur F.

\* c) On prend pour E un espace hilbertien ; montrer que l’on peut choisir la suite $(a_n)$ de sorte que si G est le sous-espace vectoriel fermé engendré par les $a_{4n+1}$, G soit de codimension infinie, et que les images des $a_{2n}$ et des $a_{4n+3}$ dans E/G soient encore linéairement indépendantes. On désigne par $G_n$ le sous-espace de E somme de G et du sous-espace engendré par les $a_{4k+3}$ pour $k \leq n$, et on munit $G_n$ de la topologie image réciproque de la topologie quotient sur $E/M_n$, par la restriction à $G_n$ de l’application canonique. Montrer que la suite $(G_n)$ est un système inductif d’espaces vectoriels topologiques, tel que $G_n$ soit fermé dans $G_{n+1}$ pour la topologie de $G_{n+1}$, mais que $G_n$ n’est pas fermé dans l’espace limite inductive de cette suite. \*