Bài tập 27, § 5

Cho $E, F$ là hai không gian vectơ tôpô Hausdorff, và $X$ (tương ứng $Y$) là một tập lồi compact trong $E$ (tương ứng $F$). Cho $f$ là một hàm nhận giá trị thực được xác định trên $X \times Y$ với các tính chất sau : (i) Với mọi $x \in X$, ánh xạ $y \mapsto f(x, y)$ là nửa liên tục dưới trong $Y$, và với mọi $c \in \mathbf{R}$, tập hợp các $y \in Y$ sao cho $f(x, y) \leq c$ là lồi. (ii) Với mọi $y \in Y$, ánh xạ $x \mapsto f(x, y)$ là nửa liên tục trên trong $X$, và với mọi $c \in \mathbf{R}$, tập hợp các $x \in X$ sao cho $f(x, y) \geq c$ là lồi. Chứng minh rằng, trong các điều kiện này, ta có

(Lập luận bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng tồn tại một số $c$ sao cho Với mọi $x \in X$ (tương ứng mọi $y \in Y$), gọi $A_x$ là tập hợp các $y \in Y$ sao cho $f(x, y) > c$ (tương ứng $B_y$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $f(x, y) < c$), là mở trong $Y$ (tương ứng trong $X$); các $A_x$ (tương ứng các $B_y$) tạo thành một phủ của $Y$ (tương ứng $X$) khi $x$ biến thiên trong $X$ (tương ứng $y$ biến thiên trong $Y$). Chứng minh rằng tồn tại hai tập hữu hạn $X_0 \subset X, Y_0 \subset Y$ sao cho : 1° với mọi $y$ thuộc bao lồi $B_0$ của $Y_0$, tồn tại $x \in X_0$ sao cho $f(x, y) > c$, và $X_0$ là cực tiểu đối với tính chất này ; 2° với mọi $x$ thuộc bao lồi $A_0$ của $X_0$, tồn tại $y \in Y_0$ sao cho $f(x, y) < c$, và $Y_0$ là cực tiểu đối với tính chất này. Khi đó với mọi $y \in Y_0$, gọi $C_y$ là tập hợp các $x \in A_0$ sao cho $f(x, y) \geq c$; dùng exerc. 21, a) của II, p. 79, chứng minh rằng giao của các $C_y$ với $y \in Y_0$ là không rỗng. Tiến hành theo cùng một cách trong $B_0$ và thu được một mâu thuẫn.)