Exercice 27, § 5

Soient E, F deux espaces vectoriels topologiques séparés, X (resp. Y) un ensemble convexe compact dans E (resp. F), $f$ une fonction numérique définie dans $X \times Y$ et ayant les propriétés suivantes : (i) Quel que soit $x \in X$, l’application $y \mapsto f(x, y)$ est semi-continue inférieurement dans Y, et pour tout $c \in \mathbf{R}$, l’ensemble des $y \in Y$ tels que $f(x, y) \leq c$ est convexe. (ii) Quel que soit $y \in Y$, l’application $x \mapsto f(x, y)$ est semi-continue supérieurement dans X, et pour tout $c \in \mathbf{R}$, l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x, y) \geq c$ est convexe. Montrer que, dans ces conditions, on a

(Raisonner par l’absurde, en supposant qu’il existe un nombre $c$ tel que Pour tout $x \in X$ (resp. tout $y \in Y$), soit $A_x$ l’ensemble des $y \in Y$ tels que $f(x, y) > c$ (resp. $B_y$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x, y) < c$), qui est ouvert dans Y (resp. dans X); les $A_x$ (resp. les $B_y$) forment un recouvrement de Y (resp. X) lorsque x parcourt X (resp. y parcourt Y). Montrer qu’il existe deux ensembles finis $X_0 \subset X$, $Y_0 \subset Y$ tels que : 1° pour tout $y$ appartenant à l’enveloppe convexe $B_0$ de $Y_0$, il existe $x \in X_0$ tel que $f(x, y) > c$, et $X_0$ est minimal pour cette propriété ; 2° pour tout $x$ appartenant à l’enveloppe convexe $A_0$ de $X_0$, il existe $y \in Y_0$ tel que $f(x, y) < c$, et $Y_0$ est minimal pour cette propriété. Pour tout $y \in Y_0$, soit alors $C_y$ l’ensemble des $x \in A_0$ tels que $f(x, y) \geq c$; utilisant l’exerc. 21, a) de II, p. 84, montrer que l’intersection des $C_y$ pour $y \in Y_0$ n’est pas vide. Procéder de même dans $B_0$ et obtenir une contradiction.)