Bài tập 4, § 5

Cho $E$ là một không gian định chuẩn và $A$ là một tập lồi đầy đủ đối với cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của $E$. a) Cho $x'$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $E$ bị chặn trên $A$. Xét một số $k > 0$ và nón lồi đóng $P$ trong $E$, với đỉnh 0 và được tạo thành bởi các $x \in E$ sao cho $\|x\| \leq k \langle x, x' \rangle$; nó là nhọn và thực sự. Chứng minh rằng đối với cấp trên $E$ mà $P$ là tập hợp các phần tử $\geq 0$, tập hợp $A$ là quy nạp (sử dụng sự kiện rằng hạn chế của $x'$ vào $A$ là tăng và bị chặn). b) Suy ra từ a) rằng tập hợp các điểm của biên $F$ của $A$ thuộc về một siêu phẳng tựa của $A$ là trù mật trong $F$ (định lý Bishop-Phelps). (Đối với mỗi điểm $z \in F$, xét một điểm $y \in \mathscr{C} A$ tùy ý gần $z$, và tách nghiêm ngặt $y$ khỏi $A$ bằng một siêu phẳng đóng có phương trình $\langle x, x' \rangle = \alpha$, với $\|x'\| = 1$ và sử dụng a) với $k > 1$, cũng Bài tập 3 ở trên.)