Exercice 4, § 5

Soient E un espace normé, A un ensemble convexe complet pour la structure uniforme induite par celle de E. a) Soit $x'$ une forme linéaire continue sur E, bornée dans A. On considère un nombre $k > 0$ et le cône convexe fermé P dans E, de sommet 0, formé par les $x \in E$ tels que $\|x\| \leq k \langle x, x' \rangle$; il est pointé et saillant. Montrer que pour l’ordre sur E pour lequel P est l’ensemble des éléments $\geq 0$, l’ensemble A est inductif (utiliser le fait que la restriction de $x'$ à A est croissante et bornée). b) Déduire de a) que l’ensemble des points de la frontière F de A qui appartiennent à un hyperplan d’appui de A est dense dans F (th. de Bishop-Phelps). (Pour tout point $z \in F$, considérer un point $y \in \mathscr{C}A$ arbitrairement voisin de z, séparer strictement y et A par un hyperplan fermé d’équation $\langle x, x' \rangle = \alpha$, avec $\|x'\| = 1$, et utiliser a) avec $k > 1$, ainsi que l’exerc. 3 de II, p. 82.)