Bài tập 5, § 5

Cho $A$ là một tập hợp lồi đóng trong $\mathbf{R}^n$ và $x_0$ là một điểm của $\mathscr{C} A$; ký hiệu khoảng cách Euclid trong $\mathbf{R}^n$ bởi $d$. a) Chứng minh, không dùng th. 1 của II, p. 36, rằng tồn tại một và chỉ một điểm $x \in A$ sao cho $d(x_0, x) = d(x_0, A)$, và rằng siêu phẳng vuông góc với đường thẳng nối $x_0$ và $x$, và đi qua $x$ là một siêu phẳng tựa của $A$. b) Suy ra từ a) một chứng minh mới của th. 1 của II, p. 36 khi không gian $E$ là hữu hạn chiều. (Rút gọn về trường hợp $M$ là một điểm biên $x_0$ của $A$; chú ý rằng cận dưới của khoảng cách của $x_0$ đến các siêu phẳng tựa của $A$, là không, và sử dụng tính compact của $S_{n-1}$.)