Exercice 5, § 5

Soient A un ensemble convexe fermé dans $\mathbf{R}^n$, $x_0$ un point de $\mathscr{C}A$; on désigne par d la distance euclidienne dans $\mathbf{R}^n$. a) Montrer, sans utiliser le th. 1 de II, p. 39, qu’il existe un point et un seul $x \in A$ tel que $d(x_0, x) = d(x_0, A)$, et que l’hyperplan orthogonal à la droite joignant $x_0$ et x, et passant par x, est un hyperplan d’appui de A. b) Déduire de a) une nouvelle démonstration du th. 1 de II, p. 39 lorsque l’espace E est de dimension finie. (Se ramener au cas où M est réduit à un point frontière $x_0$ de A ; remarquer que la borne inférieure de la distance de $x_0$ aux hyperplans d’appui de A est nulle, et utiliser la compacité de $S_{n-1}$.)