Bài tập 12, § 4

a) Cho E là một không gian lồi địa phương, $(A_n)$ là một dãy tăng các tập hợp lồi cân bằng trong E sao cho $A = \bigcup_n A_n$ là hấp thụ. Cho $(W_n)$ là một dãy giảm các lân cận lồi cân bằng của 0; khi đó bao lồi cân bằng V của $W_n \cap A_n$ là hấp thụ; nếu E là vành thùng, $\overline{V}$ là một lân cận của 0. b) Cho $\mathfrak{F}$ là một lọc trên E; giả sử rằng với mọi n, tồn tại một tập hợp $M_n \in \mathfrak{F}$ sao cho $(M_n + W_n) \cap A_{2n} = \varnothing$. Cho $V_n$ là bao lồi cân bằng của $W_k \cap A_k$ với $k \leq n - 1$ và của $W_n$ sao cho $V_n$ là một lân cận của 0 và ta có $\frac{1}{2} \overline{V} \subset V_n$ với mọi n. Chứng minh rằng $(M_n + V_n) \cap A_n = \varnothing$ với mọi n. c) Suy ra từ a) và b) rằng nếu E là vành thùng và nếu $\mathfrak{F}$ là một lọc Cauchy trên E, thì tồn tại một số nguyên N sao cho, với mọi $M \in \mathfrak{F}$ và mọi lân cận W của 0 trong E, $M + W$ giao với $A_N$. (Lập luận bằng phản chứng; với các ký hiệu của b), xét một tập hợp $M \in \mathfrak{F}$ có cấp nhỏ $\frac{1}{2} \overline{V}$.)