Exercice 12, § 4

a) Soient E un espace localement convexe, $(A_n)$ une suite croissante d’ensembles convexes équilibrés dans E, telle que $A = \bigcup_n A_n$ soit absorbant. Soit $(W_n)$ une suite décroissante de voisinages convexes équilibrés de 0 ; alors l’enveloppe convexe équilibrée V des $W_n \cap A_n$ est absorbante ; si E est tonnelé, $\overline{V}$ est un voisinage de 0. b) Soit $\mathfrak{F}$ un filtre sur E ; on suppose qu’il existe pour tout $n$ un ensemble $M_n \in \mathfrak{F}$ tel que $(M_n + W_n) \cap A_{2n} = \varnothing$. Soit $V_n$ l’enveloppe convexe équilibrée des $W_k \cap A_k$ pour $k \leq n - 1$ et de $W_n$, de sorte que $V_n$ est un voisinage de 0 et que l’on a $\frac{1}{2}\overline{V} \subset V_n$ pour tout $n$. Montrer que l’on a $(M_n + V_n) \cap A_n = \varnothing$ pour tout $n$. c) Déduire de a) et b) que si E est tonnelé et si $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy sur E, il existe un entier N tel que, pour tout $M \in \mathfrak{F}$ et tout voisinage W de 0 dans E, $M + W$ rencontre $A_N$. (Raisonner par l’absurde en considérant, avec les notations de b), un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ petit d’ordre $\frac{1}{2}\overline{V}$.)