Bài tập 16, § 2

Với các ký hiệu của Bài tập 14, cho $E''$ là đối ngẫu của $E'' = \ell^\infty(A)$. (a) Cho $e_\alpha$ (với $\alpha \in A$) là phần tử của $E''$ sao cho $e_\alpha(\beta) = \delta_{\alpha \beta}$ (ký hiệu Kronecker). Cho $(K_n)$ là một dãy các tập con hữu hạn của A, đôi một rời nhau, và cho $(x'''_n)$ là một dãy các điểm trong $E'''$. Chứng minh rằng tồn tại $(n_k)$, một dãy số nguyên vô hạn tăng ngặt $> 0$ sao cho, nếu đặt $B = \bigcup_k K_{n_k}$, thì các phần tử $y'_n = (x'''_n(\alpha))_{\alpha \in B}$ thuộc $\ell^1(B)$. (Cho $\delta$ là một số tùy ý $> 0$, và cho $(J_m)_{m \in \mathbf{N}}$ là một phân hoạch của $\mathbf{N}$ thành các tập hữu hạn. Lập luận bằng phản chứng, chứng minh rằng nếu $x''' \in E'''$, thì tồn tại một số nguyên m sao cho $|\langle x'', x''' \rangle| \leq \delta$ với mọi $x'' \in E''$ thỏa mãn $\|x''\| \leq 1$ và $x''(\alpha) = 0$ ngoại trừ các chỉ số $\alpha$ thuộc tập $\bigcup_{n \in J_m} K_n$. Áp dụng kết quả này lần lượt cho $x'''_1, x'''_2, ...$ theo một cách thích hợp.) (b) Suy ra từ (a) và từ Bài tập 15, a) rằng, nếu $(x'''_n)$ là một dãy hội tụ về 0 trong $E'''$ đối với tôpô $\sigma(E''' , E'')$ và nếu $\tilde{x'''_n}$ là hạn chế của $x'''_n$ lên không gian con đóng mạnh E của $E''$, thì $\lim_{n \to \infty} \| \tilde{x'''_n} \| = 0$ trong $E'$.

(c) Suy ra từ (b) rằng không gian con đóng mạnh E của $E''$ không có một phần bù tôpô đối với tôpô mạnh. (Hạn chế vào trường hợp A = N, cho $(e'_n)$ là dãy các dạng tuyến tính liên tục trên E sao cho $\langle x, e'_n \rangle = x(n)$ với mọi $x \in E$; chứng minh rằng dãy $(e'_n)$ tiến tới 0 đối với $\sigma(E', E)$, nhưng $e'_n$ không thể được mở rộng thành một dạng tuyến tính liên tục $x'''_n$ trên $E''$ sao cho dãy $(x'''_n)$ tiến tới 0 đối với $\sigma(E'''', E'')$.)