Exercice 16, § 2

Les notations étant celles de l’exerc. 14, soit E''' le dual de E'' = $\ell^\infty(A)$.**

a) On note $e_\alpha$ (pour $\alpha \in A$) l’élément de E'' tel que $e_\alpha(\beta) = \delta_{\alpha\beta}$ (indice de Kronecker). Soit $(K_n)$ une suite de parties finies de A, deux à deux disjointes, et soit $(x''_n)$ une suite de points de E''. Montrer qu’il existe une suite infinie strictement croissante $(n_k)$ d’entiers $> 0$ telle que, si l’on pose $B = \bigcup K_{n_k}$, les éléments $y'_n = (x''_n(\alpha))_{\alpha \in B}$ appartiennent tous à $\ell^1(B)$. (Soit $\delta$ un nombre $> 0$ arbitraire, et $(J_m)_{m \in \mathbf{N}}$ une partition de $\mathbf{N}$ en ensembles finis. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que, si $x''' \in E'''$, il existe un entier $m$ tel que l’on ait $|\langle x'', x''' \rangle| \leq \delta$ pour tout $x'' \in E''$ tel que $\|x''\| \leq 1$ et $x''(\alpha) = 0$ sauf pour les indices $\alpha$ appartenant à l’ensemble $\bigcup_{m \in J_m} K_n$. Appliquer ce résultat successivement, de façon convenable, à $x'''_1, x'''_2, ...$).

b) Déduire de a) et de l’exerc. 15, a) que, si $(x''_n)$ est une suite qui converge vers 0 dans E'' pour la topologie $\sigma(E'''', E'')$, et si $\tilde{x}'_n$ est la restriction de $x''_n$ au sous-espace fortement fermé E de E'', on a $\lim_{n \to \infty} \| \tilde{x}'_n \| = 0$ dans E'.

c) Déduire de b) que, dans E'', le sous-espace fortement fermé E n’admet pas de supplémentaire topologique pour la topologie forte. (Se borner au cas où $A = \mathbf{N}$; soit $(e'_n)$ la suite de formes linéaires continues sur E telle que $\langle x, e'_n \rangle = x(n)$ pour tout $x \in E$; montrer que la suite $(e'_n)$ tend vers 0 pour $\sigma(E', E)$, mais que $e'_n$ ne peut être prolongée en une forme linéaire $x'''_n$ continue dans E'', telle que la suite $(x'''_n)$ tende vers 0 pour $\sigma(E'''', E'')$.)