Bài tập 25, § 2

Cho $E$ là một không gian Banach thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : a) $E$ không phản xạ. b) Với mọi số $\theta$ sao cho $0 < \theta < 1$, tồn tại một dãy $(x'_n)$ trong $E'$ sao cho, $\|x'_n\| \leq 1$ với mọi $n$, dãy $(x'_n)$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E', E)$ và khoảng cách từ 0 đến tập lồi sinh bởi các $x'_n$ là $\geq \theta$. c) Với mọi số $\theta$ sao cho $0 < \theta < 1$ và mọi dãy $\lambda_n$ các số $> 0$ sao cho $\sum_n \lambda_n = 1$, tồn tại một số $\alpha$ sao cho $\theta \leq \alpha \leq 1$ và một dãy $(y'_n)$ các điểm của $E'$ sao cho $\|y'_n\| \leq 1$ với mọi $n$, $\|\sum_n \lambda_n y'_n\| = \alpha$ và $\left\| \sum_{k=1}^n \lambda_k y'_k \right\| \leq \alpha (1 - \theta \sum_{j=n+1}^\infty \lambda_j)$ với mọi $n$. d) Tồn tại $z' \in E'$ sao cho không có $x \in E$ nào thỏa mãn $|\langle x, z' \rangle| = \|x\| \cdot \|z'\|$ (Định lý James-Klee). (Để thấy a) kéo theo b), hãy nhận xét rằng tồn tại $z'' \in E''$ sao cho $\|z''\| < 1$ và $d(z'', E) > \theta$. Nếu $(x_n)$ là một dãy trù mật khắp nơi trong $E$, hãy tìm dãy $(x'_n)$ trong $E'$ sao cho $\|x'_n\| < 1$ và sao cho $\langle x_k, x'_n \rangle = 0$ với $k \leq n$ và $\langle x'_n, z'' \rangle = \theta$. Để thấy b) kéo theo c), hãy dùng exerc. 24. Để thấy c) kéo theo d), hãy chứng minh rằng với mọi $x \in E$ ta có $\left| \sum_n \lambda_n \langle x, y'_n \rangle \right| < \alpha$, với các ký hiệu của c).