Exercice 25, § 2

Soit $E$ un espace de Banach de type dénombrable. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) $E$ n'est pas réflexif. β) Pour tout nombre $\theta$ tel que $0 < \theta < 1$, il existe une suite $(x'_n)$ dans $E'$ telle que $\|x'_n\| \leq 1$ pour tout $n$, que la suite $(x'_n)$ converge vers $0$ pour $\sigma(E', E)$ et que la distance de $0$ à l'ensemble convexe engendré par les $x'_n$ soit $\geq \theta$. γ) Pour tout nombre $\theta$ tel que $0 < \theta < 1$ et toute suite $(\lambda_n)$ de nombres $> 0$ tels que $\sum \lambda_n = 1$, il existe un nombre $\alpha$ tel que $\theta \leq \alpha \leq 1$ et une suite $(y'_n)$ de points de $E'$ telle que $\|y'_n\| \leq 1$ pour tout $n$, $\|\sum \lambda_n y'_n\| = \alpha$ et $\|\sum_{k=1}^n \lambda_k y'_k\| \leq \alpha (1 - \theta \sum_{j=n+1}^\infty \lambda_j)$ pour tout $n$. δ) Il existe $z' \in E'$ tel que, pour aucun $x \in E$, on n'ait $|\langle x, z' \rangle| = \|x\| \cdot \|z'\|$ (Th. de James-Klee). (Pour voir que α) entraîne β), remarquer qu'il existe $z'' \in E''$ tel que $\|z''\| < 1$ et $d(z'', E) > \theta$. Si $(x_n)$ est une suite partout dense dans $E$, déterminer la suite $(x'_n)$ dans $E'$ telle que $\|x'_n\| < 1$ et que l'on ait $\langle x_k, x'_n \rangle = 0$ pour $k \leq n$ et $\langle x'_n, z'' \rangle = \theta$. Pour voir que β) entraîne γ), utiliser l'exerc. 24. Pour voir que γ) entraîne δ), montrer qu'avec les notations de γ), pour tout $x \in E$, on a $\left| \sum \lambda_n \langle x, y'_n \rangle \right| < \alpha$.)