Bài tập 3, § 2

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff phức, $E_0$ là không gian lồi địa phương thực nền của $E$, và $E'$ và $E'_0$ lần lượt là các đối ngẫu của $E$ và $E_0$. Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính $\mathbf{R}$ chính tắc $f \mapsto \mathscr{R}f$ từ $E'$ lên $E'_0$ là một đồng phôi đối với các tôpô $\mathfrak{S}$ trên $E'$ và $E'_0$, trong đó $\mathfrak{S}$ là một tập hợp tùy ý các tập con bị chặn của $E$. Từ đó suy ra định nghĩa của ánh xạ tuyến tính $\mathbf{R}$ chính tắc từ đối ngẫu kép $E''$ lên đối ngẫu kép $E''_0$, ánh xạ này là một đồng phôi đối với các tôpô yếu $\sigma(E'', E')$ và $\sigma(E''_0, E'_0)$, cũng như đối với các tôpô mạnh $\beta(E'', E')$ và $\beta(E''_0, E'_0)$; bởi ánh xạ này, $E$ (được xét như nhúng trong $E''$) biến thành $E_0$ (được xét như nhúng trong $E''_0$).