Exercice 3, § 2

Soient $E$ un espace localement convexe complexe séparé, $E_0$ l’espace localement convexe réel sous-jacent à $E$, $E'$ et $E'_0$ les duals de $E$ et $E_0$ respectivement. Montrer que l’application R-linéaire canonique $f \mapsto \mathscr{R}f$ de $E'$ sur $E'_0$ est un homéomorphisme pour les $\mathfrak{S}$-topologies sur $E'$ et $E'_0$, lorsque $\mathfrak{S}$ est un ensemble quelconque de parties bornées de $E$. En déduire la définition d’une application R-linéaire canonique du bidual $E''$ sur le bidual $E''_0$, qui soit un homéomorphisme pour les topologies faibles $\sigma(E'', E')$ et $\sigma(E''_0, E'_0)$, ainsi que pour les topologies fortes $\beta(E'', E')$ et $\beta(E''_0, E'_0)$; par cette application, $E$ (considéré comme plongé dans $E''$) se transforme en $E_0$ (considéré comme plongé dans $E''_0$).