Bài tập 6, § 2

Cho $F$ và $G$ là hai không gian vectơ trong đối ngẫu tách được. a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha$ không gian $F$ với một tôpô tương thích với đối ngẫu giữa $F$ và $G$, là nửa phản xạ; $\beta$ không gian $G$, với $\tau(G, F)$, là barrelled. b) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha$ không gian $F$, với $\tau(F, G)$, là phản xạ;

β) không gian G, với τ(G, F), là phản xạ; γ) F và G lần lượt là barrelled đối với τ(F, G) và τ(G, F). c) Chứng minh rằng mọi không gian Hausdorff lồi địa phương E, với tôpô τ(E, E'), là đẳng cấu với thương của một không gian nửa phản xạ F theo một không gian con đóng. (Theo III, p. 44, bài tập 14, c), E' được trang bị τ(E', E) là đẳng cấu với một không gian vectơ con đóng M của một không gian Hausdorff barrelled G; lấy F = G' được trang bị τ(G', G) và sử dụng mệnh đề 11 của IV, p. 10.) d) Cho A là một tập vô hạn với Card(A) > $\aleph_1$ (S, III, § 6, bài tập 10). Trong không gian tích P = $\mathbf{R}^A$, gọi E_0 là không gian con trù mật khắp nơi gồm mọi x = $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ sao cho $x_\alpha = 0$ ngoại trừ một tập đếm được các chỉ số; không gian E_0 là barrelled và không gian con E của P sinh bởi E_0 và điểm 1_A trong P mà tất cả các tọa độ của nó đều bằng 1 cũng vậy (III, p. 45, bài tập 16). Cho B là một tập con bị chặn trong E_0, mà bao đóng của nó trong P chứa 1_A, và cho J là một tập con của A có lực lượng $\aleph_1$; gọi pr_J là phép chiếu từ P lên $\mathbf{R}^J$; chứng minh rằng tồn tại một tập con B_J trong B, có lực lượng $\leq \aleph_1$, sao cho bao đóng của pr_J(B_J) trong $\mathbf{R}^J$ chứa 1_J; khi đó tập J' ⊃ J gồm tất cả các chỉ số $\alpha \in A$ sao cho đối với ít nhất một điểm của B_J, tọa độ có chỉ số $\alpha$ là $\neq 0$, có lực lượng bằng $\aleph_1$. Ta định nghĩa J_0 = J và bằng quy nạp $J_{n+1} = J'_n$, và đặt H = $\bigcup_n J_n$, có lực lượng là $\aleph_1$, và cho $B_H = \bigcup B_{J_n}$; chứng minh rằng bao đóng của $B_H$ (và do đó cả bao đóng của B) chứa điểm $(1_H, 0) \in \prod^n \mathbf{R}^{H} \times \mathbf{R}^{A-H} = P$, điểm này không thuộc E_0. Kết luận rằng với mọi tập C bị chặn và compact trong E, C ∩ E_0 lại đóng trong E, và rằng E không phải là nửa phản xạ. e) Suy ra từ d) rằng đối ngẫu E' của E (có thể đồng nhất với đối ngẫu P' = $\mathbf{R}^{(A)}$ của P) không đầy đủ đối với tôpô τ(E', E), mặc dù là nửa phản xạ (do đó quasi-đầy đủ) đối với tôpô này (xét dạng tuyến tính trên E bằng 0 trên E_0 và bằng 1 tại điểm 1_A, và sử dụng III, p. 21, định lý 2).