Exercice 6, § 2

Soient F et G deux espaces vectoriels en dualité séparante. a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) F, muni d’une topologie compatible avec la dualité entre F et G, est semi-réflexif ; β) G, muni de τ(G, F), est tonnelé. b) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) F, muni de τ(F, G), est réflexif ; β) G, muni de τ(G, F), est réflexif ; γ) F et G sont tonnelés pour τ(F, G) et τ(G, F) respectivement. c) Montrer que tout espace localement convexe séparé E, muni de la topologie τ(E, E'), est isomorphe au quotient d’un espace semi-réflexif F par un sous-espace fermé. (D’après III, p. 46, exerc. 14, c), E', muni de τ(E', E), est isomorphe à un sous-espace vectoriel fermé M d’un espace tonnelé séparé G ; prendre F = G' muni de τ(G', G) et utiliser la prop. 11 de IV, p. 10.) d) Soit A un ensemble infini tel que Card(A) > $\aleph_1$ (E, III, p. 87, exerc. 10). Dans l’espace produit P = $\mathbf{R}^A$, on désigne par E_0 le sous-espace partout dense formé des $x = (x_\alpha)_{\alpha \in A}$ tels que $x_\alpha = 0$ sauf pour un ensemble dénombrable d’indices ; l’espace E_0 est tonnelé et il en est de même du sous-espace E de P engendré par E_0 et le point 1_A de P dont toutes les coordonnées sont égales à 1 (III, p. 46, exerc. 16). Soit B un ensemble borné dans E_0, dont l’adhérence dans P contient 1_A, et soit J une partie de A de cardinal $\aleph_1$ ; on désigne par pr_J la projection de P sur $\mathbf{R}^J$ ; montrer qu’il existe une partie B_J de B, de cardinal $\leq \aleph_1$, telle que l’adhérence dans $\mathbf{R}^J$ de pr_J(B_J) contienne 1_J ; l’ensemble J' $\supset J$ des indices $\alpha \in A$ tels que la coordonnée d’indice $\alpha$ d’au moins un point de B_J soit $\neq 0$, a alors un cardinal égal à $\aleph_1$. On définit par récurrence $J_0 = J$ et $J_{n+1} = J'_n$, et on pose $H = \bigcup_n J_n$, dont le cardinal est $\aleph_1$, et $B_H = \bigcup_n B_{J_n}$ ; montrer que l’adhérence de B_H (et par suite aussi celle de B) contient le point $(1_H, 0) \in \mathbf{R}^H \times \mathbf{R}^{A-H} = P$, qui n’appartient pas à E_0. En conclure que pour tout ensemble C borné et compact dans E, C $\cap$ E_0 est encore fermé dans E, et que E n’est pas semi-réflexif. e) Déduire de d) que le dual E' de E (qui s’identifie au dual P' = $\mathbf{R}^{(A)}$ de P) n’est pas complet pour la topologie $\tau(E', E)$, bien qu’étant semi-réflexif (donc quasi-complet) pour cette topologie (considérer la forme linéaire sur E égale à 0 dans E_0 et à 1 au point 1_A, et utiliser III, p. 21, th. 2).