Bài tập 1, § 3

Cho $E$ là một không gian Banach vô hạn chiều, $(a_n)_{n \geq 1}$ là một họ tự do toàn phần đếm được các điểm của $E$, và cho $F_n$ là không gian con $n$-chiều của $E$ sinh bởi các $a_m$ với $m \leq n$. Cho $S_n$ là mặt cầu có phương trình $\|x\| = n$ trong $E$; trong $S_n \cap F_n$ cho $A_n$ là một tập hợp hữu hạn sao cho mọi điểm của $S_n \cap F_n$ đều ở khoảng cách $\leq 1/n$ từ $A_n$. Chứng minh rằng $A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n$ có tính chất là giao của nó với mọi tập hợp đóng bị chặn là đóng, nhưng $0$ là một điểm giới hạn của $A$ đối với tôpô yếu hơn.

Cho $E$ là một không gian giới hạn quy nạp của một dãy $(E_p)$ các không gian lồi địa phương mêtric hóa, các ánh xạ chính tắc $E_p \to E$ là đơn ánh và cho $E$ là hợp của các ảnh của các $E_p$. Chứng minh rằng đối ngẫu mạnh $E'_b$ của $E$ là kiệt tận (III, p. 49, exerc. 1). (Cho $(U_j^p)$ là một hệ cơ bản giảm các lân cận đóng lồi và cân bằng của $0$ trong $E_p$; xét các giao hữu hạn của các tập hợp đối cực $(U_j^p)^{\circ}$ trong $E'$; sử dụng sự kiện rằng đối với mọi dãy tăng $(m_j)_{j \geq 1}$ thì giao $\bigcap_{j=1}^\infty (U_{m_j}^j)^{\circ}$ là đối cực của một lân cận của $0$ trong $E$, và rằng $E'_b$ là đầy đủ.)

$*$ 17) a) Cho $E$ là một không gian Hausdorff lồi địa phương, sao cho bornology gồm các tập compact tương đối của $E$ có một cơ sở đếm được $(A_n)$ (III, p. 1). Chứng minh rằng $(A_n)$ cũng là một cơ sở cho bornology chính tắc (III, p. 3, định nghĩa 5). (Gọi $C_n$ là tập compact tương đối là tổng của $n$ tập mỗi tập bằng $A_n$; khi đó $(C_n)$ cũng là một cơ sở cho bornology của các tập compact tương đối. Lập luận bằng reductio ad absurdum, xét một tập bị chặn $B$ không được chứa trong bất kỳ tập nào trong các $C_n$, và kết luận rằng tồn tại một dãy $(x_n)$ các điểm của $B$ sao cho $x_n/n \notin A_n$; suy ra một mâu thuẫn.) Khi đó, không gian $E$ là nửa phản xạ và bao lồi cân bằng đóng của mọi tập compact trong $E$ là compact. b) Giả sử rằng $E$ là infrabarrelled và rằng đối với một tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với đối ngẫu giữa $E$ và $E'$, tồn tại một cơ sở đếm được cho bornology của các tập con compact tương đối của $E$ đối với $\mathscr{T}$. Chứng minh rằng khi đó $E$ là một không gian phản xạ (DF) (IV, p. 57, Bài tập.