Bài tập 35, § 1

Ta ký hiệu bởi E một không gian Hilbert thực hữu hạn chiều có chiều $n$, bởi S mặt cầu đơn vị của E và bởi $m$ độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên S bất biến qua nhóm tự đẳng cấu của E. Ta xét S như một không gian mêtric trong đó khoảng cách được xác định bởi $d(x, y) = \operatorname{Arc}\cos \langle x|y \rangle$. Với $x \in S$ và mọi số thực $r \geqslant 0$, ta ký hiệu bởi $B(x, r)$ tập hợp các điểm $y$ của $S$ sao cho $d(x, y) \leqslant r$; với mọi tập con $A$ của $S$ và mọi số thực $r \geqslant 0$, ta ký hiệu bởi $A_r$ tập hợp các điểm $x$ của $S$ sao cho $d(x, A) \leqslant r$.

a) Cho hai tập con đóng $A$ và $B$ của $S$, ta ký hiệu bởi $\delta(A, B)$ cận dưới lớn nhất của tập hợp các số thực $r \geqslant 0$ sao cho $A \subset B_r$ và $B \subset A_r$. Chứng minh rằng $\delta$ là một khoảng cách trên tập hợp $\mathscr{F}$ các tập con đóng của $S$, và rằng $\mathscr{F}$ là một không gian mêtric compact đối với khoảng cách này. Chứng minh rằng ánh xạ $A \mapsto m(A)$ từ $\mathscr{F}$ vào $\mathbf{R}$ là nửa liên tục trên.

b) Cho $x_0$ là một điểm của $S$, $H$ là siêu phẳng của $E$ trực giao với $x_0$, $x_1$ là một điểm của $H$ và $\gamma$ là cung tròn nối $x_0$ với $-x_0$ bằng cách đi qua $x_1$, nghĩa là tập hợp các điểm của $S$ có dạng $x_0 \sin \theta + x_1 \cos \theta$ với $|\theta| \leqslant \pi/2$. Với mọi $y \in \gamma$, ta đặt $H_y = H + y$ và $S_y = S \cap H_y$; ta ký hiệu bởi $m_y$ độ đo dương duy nhất có chuẩn 1 trên $S_y$ bất biến qua nhóm tự đẳng cấu của $E$ giữ cố định $x_0$.

Cho $A$ là một tập con đóng của $S$ và cho $\gamma'$ là tập hợp các điểm $y$ của $\gamma$ sao cho $A \cap S_y$ là khác rỗng. Với mọi $y \in \gamma'$, tồn tại duy nhất một số thực $r(y)$ sao cho $0 \leqslant r(y) \leqslant \pi$ và $m_y(A \cap S_y) = m_y(B(y, r(y)) \cap S_y)$; ta ký hiệu bởi $s_{\gamma'}(A)$ hợp của các tập hợp $B(y, r(y)) \cap S_y$ khi $y$ chạy trên $\gamma'$. Bây giờ chứng minh rằng $s_{\gamma'}(A)$ là đóng và ta có $m(A) = m((s_{\gamma'}(A)))$.

c) Với mọi tập con đóng $A$ của $S$, ta gọi bán kính của $A$ là cận dưới lớn nhất $r(A)$ của tập hợp các số thực $r \geqslant 0$ sao cho tồn tại $x \in S$ với $A \subset B(x, r)$. Ta ký hiệu bởi $M(A)$ tập hợp các tập con đóng $C$ của $S$ sao cho $m(C) = m(A)$ và $m(C_\varepsilon) \leqslant m(A_\varepsilon)$ với mọi $\varepsilon > 0$. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương với mọi cặp $(A, B)$ các tập con đóng của $S$:

(i) ta có $m(A) = m(B)$ và $B$ có dạng $B(x, r)$ với $x \in S$ và $r \geqslant 0$; (ii) ta có $B \in M(A)$ và $r(B) \leqslant r(C)$ với mọi tập con $C$ của $A$ thuộc $M(A)$. (Lập luận bằng quy nạp trên $n$, ta sẽ suy ra từ b) rằng $s_{\gamma'}(A)$ thuộc $M(A)$ với mọi tập con đóng $A$ của $S$; nếu $r > 0$ sao cho $A \subset B(x_1, r)$, hãy chứng minh rằng mọi điểm của biên của $B(x_1, r)$ trong $S$ thuộc $s_{\gamma'}(A)$ cũng thuộc $A$.)