Bài tập 13, § 4

Cho $E$ là một không gian Hilbert, $G$ là một nhóm con của nhóm tự đẳng cấu của cấu trúc không gian Hilbert của $E$. Cho $E^G$ là không gian con vectơ đóng của $E$ cấu thành bởi các vectơ bất biến dưới $G$, và $p$ là phép chiếu trực giao của $E$ lên $E^G$. a) Chứng minh rằng phần bù trực giao của $E^G$ trong $E$ là không gian con vectơ đóng sinh bởi các vectơ $s.x - x$, trong đó $s$ chạy qua $G$ và $x \in E$. b) Cho $H$ là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và ổn định của $E$ dưới $G$. Chứng minh rằng phép chiếu của 0 lên $H$ thuộc $E^G$. c) Giả sử rằng $H$ là bao lồi đóng của quỹ đạo của một điểm $x$ của $E$, và cho $a$ là phép chiếu của 0 lên $H$. Chứng minh rằng $a = p(x)$ và rằng $H \cap E^G$ được thu gọn thành điểm $a$ (“định lý của Birkhoff-Alaoglu”). (Chú ý rằng $x - a$ được chứa trong phần bù trực giao của $E^G$.) d) Giả sử rằng $G$ được sinh bởi một tự đẳng cấu $u$ của $E$. Chứng minh rằng ta có

e) Giả sử rằng $G$ là ảnh của một đồng cấu $t \mapsto u_t$ của $\mathbf{R}$ vào nhóm các tự đẳng cấu của $E$, sao cho với mọi $x \in E$, $t \mapsto u_t.x$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $E$. Chứng minh rằng ta có $p(x) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T u_t.x \, dt$ với mọi $x \in E$. f) Giả sử rằng tồn tại một phần tử $x \neq 0$ của $E$ và một số $\alpha$ sao cho $0 < \alpha < 1$ và $\|s.x - x\| \leq \alpha \|x\|$ với mọi $s \in G$. Chứng minh rằng $E^G \neq \{0\}$ (dùng c)).