Bài tập 1, § 3

Cho I là một khoảng tùy ý trong $\mathbf{R}$, cho A là một tập hợp, và g là một hàm thực hữu hạn xác định trên $I \times A$ sao cho với mọi $\alpha \in A$ ánh xạ $t \mapsto g(t, \alpha)$ là giảm và $\geq 0$ trên I; giả sử thêm rằng có một số M độc lập với $\alpha$ sao cho $g(t, \alpha) \leq M$ trên $I \times A$.

a) Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm điều chỉnh trên I sao cho tích phân $\int_I f(t) \, dt$ hội tụ, thì tích phân $\int_I f(t) g(t, \alpha) \, dt$ hội tụ đều đối với $\alpha \in A$ (sử dụng định lý giá trị trung bình thứ hai; xem II, p. 82, bài tập 16).

b) Giả sử rằng $I = [a, +\infty[$ và thêm rằng $g(t, \alpha)$ tiến đều về 0 (đối với $\alpha \in A$) khi t tiến tới $+\infty$. Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm điều chỉnh trên I và nếu có một số $k > 0$ sao cho $\| \int_J f(t) \, dt \| \leq k$ với mọi khoảng compact J được chứa trong I, thì tích phân $\int_I f(t) g(t, \alpha) \, dt$ hội tụ đều đối với $\alpha \in A$ (cùng phương pháp).

c) Giả sử rằng $I = [a, +\infty[$ với $a > 0$, $A = [0, +\infty[$, và $g(t, \alpha) = \varphi(\alpha t)$, trong đó $\varphi$ là một hàm lồi giảm và $\geq 0$ trên A, tiến tới 0 khi $x$ tiến tới $+\infty$ và sao cho $\varphi(0) = 1$. Giả sử thêm rằng $f = h''$, trong đó $h$ là một hàm khả vi hai lần trên $[a, +\infty[$, và cùng với $h'$ bị chặn trên khoảng này. Tích phân $\int_a^{+\infty} f(t) \varphi(\alpha t) \, dt$ khi đó hội tụ với $\alpha > 0$: chứng minh rằng khi $\alpha$ tiến tới 0, nó tiến tới $-h'(a)$ (lấy tích phân từng phần và sử dụng định lý giá trị trung bình thứ hai).

d) Lấy $\varphi(x) = e^{-cx}$, trong đó $c > 0$, lấy $a = 1$, và lấy cho f hàm phức $t \mapsto e^{t \log t}/t$, là đạo hàm của một hàm bị chặn trên I; chứng minh rằng với một lựa chọn thích hợp của $c$, tích phân $\int_1^{+\infty} e^{u \alpha t} \frac{e^{t \log t}}{t} \, dt$, vốn hội tụ tuyệt đối với $\alpha > 0$, không tiến tới một giới hạn nào khi $\alpha$ tiến tới 0 (sau khi lấy tích phân từng phần, thực hiện phép đổi biến $\alpha t = u$; dùng lý thuyết biến đổi Laplace để thấy rằng $\int_0^{+\infty} e^{-cu + t \log u} \, du$ không triệt tiêu với một số $c > 0$).