Exercice 1, § 3

Soient I un intervalle quelconque de $\mathbf{R}$, A un ensemble, g une fonction numérique finie, définie dans $I \times A$, telle que pour tout $\alpha \in A$, $t \mapsto g(t, \alpha)$ soit décroissante et $\geqslant 0$ dans I; on suppose en outre qu’il existe un nombre M indépendant de $\alpha$ tel que $g(t, \alpha) \leqslant M$ dans $I \times A$.

a) Montrer que si $f$ est une fonction réglée dans I, telle que l’intégrale $\int_I f(t) \, dt$ soit convergente, l’intégrale $\int_I f(t)g(t, \alpha)dt$ est uniformément convergente pour $\alpha \in A$ (utiliser le second théorème de la moyenne; cf. II, p. 31, exerc. 16).

b) On suppose que $I = (a, +\infty[$ et en outre que $g(t, \alpha)$ tende uniformément vers 0 (pour $\alpha \in A$) lorsque t tend vers $+\infty$. Montrer que si $f$ est une fonction réglée dans I, et s’il existe un nombre $k > 0$ tel que $\| \int_J f(t) \, dt \| \leqslant k$ pour tout intervalle compact J contenu dans I, l’intégrale $\int_I f(t)g(t, \alpha) \, dt$ est uniformément convergente pour $\alpha \in A$ (même méthode).

c) On suppose que $I = [a, +\infty[$ avec $a > 0$, $A = \{0, +\infty[$, et $g(t, \alpha) = \varphi(\alpha t)$, où $\varphi$ est une fonction convexe décroissante et $\geqslant 0$ dans A, tendant vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et telle que $\varphi(0) = 1$. On suppose en outre que $f = h''$, où $h$ est une fonction deux fois dérivable dans $[a, +\infty[$, bornée ainsi que $h'$ dans cet intervalle. L’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\varphi(\alpha t) \, dt$ est alors convergente pour $\alpha > 0$; montrer que lorsque $\alpha$ tend vers 0, elle tend vers $-h'(a)$ (intégrer par parties et utiliser le second théorème de la moyenne).

\* d) On prend $\varphi(x) = e^{-cx}$ où $c > 0$, $a = 1$ et pour $f$ la fonction complexe $t \mapsto e^{i\log t}/t$ qui est la dérivée d’une fonction bornée dans I; montrer que pour un choix convenable de $c$ l’intégrale $\int_1^{+\infty} e^{-cxt} \frac{e^{i\log t}}{t} \, dt$, qui est absolument convergente pour $\alpha > 0$, ne tend vers aucune limite lorsque $\alpha$ tend vers 0 (après avoir intégré par parties, faire le changement de variables $\alpha t = u$; pour voir que $\int_0^{+\infty} e^{-cu+i\log u} du$ n’est pas nulle pour certains $c > 0$, utiliser la théorie de la transformation de Laplace.)*