Bài tập 10, § 3

a) Nếu $h, u, v'$ là các nguyên thủy của các hàm thực điều hòa từng đoạn trên một khoảng mở ]$a, b[$ của $\mathbf{R}$, nếu $v$ là một nguyên thủy của $v'$, và nếu $v(x) > 0$ trên khoảng này, thì ta có đồng nhất thức Redheffer

tại những điểm của ]$a, b[$ mà các đạo hàm được xác định.

*b) Cho $v, w$ là hai hàm $> 0$ trên ]$a, b[$, là các nguyên thủy của các hàm điều hòa từng đoạn $v' > 0, w' \leq 0$. Suy ra từ a) rằng với mọi hàm $u$ là một nguyên thủy của một hàm điều hòa từng đoạn $u'$ trên ]$a, b[$ và thỏa mãn $\liminf_{x \to a, x > a} u(x) = 0$, giả thiết rằng tích phân $\int_a^b \frac{w(x)}{v'(x)} {u'}^2(x) dx$ hội tụ kéo theo tích phân $\int_a^b \frac{u'(x)}{v(x)} u^2(x) dx$ hội tụ và rằng

là hữu hạn, và đồng thời bất đẳng thức (Đặt $h = w/v'$, trước hết nhận thấy rằng $\int_c^x dt/h(t) \leq v(x)/w(x)$ với $a < c < x < b$ và nhận xét rằng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

để suy ra rằng

rồi lấy tích phân đồng nhất thức Redheffer.)

c) Suy ra từ (*) rằng nếu $u$ là nguyên thủy của một hàm điều hòa từng đoạn trên ]0, 1], nếu

và nếu tích phân $\int_0^1 {u'}^2(t)\,dt$ hội tụ, thì $\int_0^1 (u(t)/t)^2\,dt$ cũng hội tụ và với mọi $\alpha > 0$ ta có bất đẳng thức

d) Cho $\alpha$ là một số $> 0$, cho K là một hàm $> 0$, khả vi và giảm trên ]0, $+\infty[$ và sao cho $\lim_{x \to +\infty} K(x) = 0$. Nếu $u$ là nguyên thủy của một hàm điều hòa từng đoạn trên ]0, $+\infty[$, thỏa mãn $\liminf_{x \to 0,\ x > 0} u(x) = 0$, và nếu tích phân $\int_0^{+\infty} x^{1-\alpha} K(x){u'}^2(x)\,dx$ hội tụ, thì hàm $x^{-\alpha} K(x)u^2(x)$ tiến tới 0 khi x tiến tới 0 hoặc tới $+\infty$, tích phân

hội tụ, và ta có

(lấy $v(x) = x^\alpha,\ h(x) = x^{1-\alpha} K(x)$ trong đồng nhất thức Redheffer).

Đặc biệt, với $\alpha = \frac{1}{2}$ và $K(x) = x^{-1/2}$, ta có

(bất đẳng thức Hardy-Littlewood).

e) Cho $\alpha \geq -1$, cho K là một hàm $\geq 0$, khả vi và tăng trên [0, $+\infty[$. Giả sử các tích phân

và

hội tụ. Khi đó $K(x)u^2(x)$ tiến tới 0 khi x tiến tới $+\infty$, và ta có

(lấy $v(x) = \exp(-cx^\alpha)$ trong đồng nhất thức Redheffer, với một hằng số c thích hợp).

Đặc biệt, nếu $a$ và $b$ là các hằng số sao cho $b + 1 \geq a$ và $a + b \geq 0$, ta có

nếu các tích phân ở vế phải hội tụ (bất đẳng thức H. Weyl tổng quát).

f) Nếu $0 < \alpha < 2$ và $u$ là một nguyên thủy của một hàm điều chỉnh được trên $[0, \alpha]$ và $u(0) = 0$, ta có

(bất đẳng thức Opial tổng quát). (Áp dụng (*) một cách thích hợp, thay thế $u(x)$ bởi $e^{-x} u(x)$.)

g) Nếu $u$ là một nguyên thủy của một hàm điều chỉnh được trên $[0, b]$ và $u(0) = 0$, thì

(bất đẳng thức Hlawka) (cùng phương pháp như trong f).

h) Nếu $u$ là nguyên thủy của một hàm điều chỉnh được trên $\mathbf{R}$ thì, với mọi $t \in \mathbf{R}$,

nếu hai tích phân ở vế phải hội tụ (xét hai khoảng $[-\infty, t]$ và $[t, +\infty[$; lấy $v(x) = e^{\alpha x}$ trên hai khoảng đó, $h(x) = 1/\alpha$ trên khoảng thứ nhất và $h(x) = -1/\alpha$ trên khoảng thứ hai, rồi chọn $\alpha > 0$ một cách thích hợp).