Exercice 10, § 3

a) Si $h, u, v'$ sont des primitives de fonctions réglées numériques dans un intervalle ouvert $]a, b[$ de $\mathbf{R}$, $v$ une primitive de $v'$, et si $v(x) > 0$ dans cet intervalle, on a l’identité de Redheffer

aux points de $]a, b[$ où les dérivées sont définies.

\* b) Soient $v, w$ deux fonctions $> 0$ dans $]a, b[$, primitives de fonctions réglées $v' > 0$, $w' \leqslant 0$. Déduire de a) que pour toute fonction $u$ primitive d’une fonction réglée $u'$ dans $]a, b[$ et telle que $\liminf_{x \to a, x > a} u(x) = 0$, l’hypothèse que l’intégrale $\int_a^b \frac{w'(x)}{v'(x)} {u'}^2(x) dx$ est convergente entraîne que l’intégrale $\int_a^b \frac{w'(x)}{v'(x)} {u'}^2(x) dx$ est convergente et que

est finie, ainsi que l’inégalité

(*) $\int_a^b \frac{w(x)}{v'(x)} {u'}^2(x) dx \geqslant - \int_a^b \frac{w'(x)}{v(x)} u^2(x) dx + \limsup_{x \to b, x < b} \frac{u^2(x)w(x)}{v(x)}.$

(Posant $h = w/v'$, observer d’abord que $\int_c^x dh/h(t) \leqslant v(x)/w(x)$ pour $a < c < x < b$ et remarquer que l’on a par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

(**) $(u(x) - u(c))^2 \leqslant \left( \int_c^x h(t){u'}^2(t) dt \right) \left( \int_c^x \frac{dt}{h(t)} \right),$

en déduire que l’on a

puis intégrer l’identité de Redheffer.)

c) Déduire de (*) que si $u$ est primitive d’une fonction réglée dans $]0, 1]$, si

et si l’intégrale $\int_0^1 {u'}^2(t) dt$ est convergente, il en est de même de $\int_0^1 (u(t)/t)^2 dt$ et on a l’inégalité, pour tout $\alpha > 0$

d) Soient $\alpha$ un nombre $> 0$, $K$ une fonction $> 0$, dérivable et décroissante dans $]0, +\infty[$ et telle que $\lim_{x \to +\infty} K(x) = 0$. Si $u$ est la primitive d’une fonction réglée dans $]0, +\infty[$, telle que $\liminf_{x \to 0, x > 0} u(x) = 0$, et si l’intégrale $\int_0^{+\infty} x^{1-\alpha} K(x){u'}^2(x) dx$ est convergente, la fonction $x^{-\alpha}K(x)u^2(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers 0 ou vers $+\infty$, l’intégrale

est convergente et l’on a

(prendre $v(x) = x^\alpha$, $h(x) = x^{1-\alpha}K(x)$ dans l’identité de Redheffer).

En particulier, pour $\alpha = \frac{1}{2}$ et $K(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, on a

(inégalité de Hardy-Littlewood).

e) Soient $\alpha \geq -1$, $K$ une fonction $\geq 0$, dérivable et croissante dans $[0, +\infty[$. Supposons que les intégrales

soient convergentes. Alors $K(x) u^2(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et l’on a (prendre $v(x) = \exp(-c x^\alpha)$ dans l’identité de Redheffer, avec une constante $c$ convenable). En particulier, si $a$ et $b$ sont des constantes telles que $b + 1 \geq a$ et $a + b \geq 0$, on a si les intégrales du second membre convergent (inégalité de H. Weyl généralisée).

f) Si $0 < \alpha < 2$ et $u$ est primitive d’une fonction réglée dans $[0, \alpha]$ et $u(0) = 0$, on a

(inégalité d’Opial généralisée). (Appliquer convenablement (*) en remplaçant $u(x)$ par $e^{-x} u(x)$.)

g) Si $u$ est primitive d’une fonction réglée dans $[0, b]$ et $u(0) = 0$,

(inégalité de Hlawka) (même méthode que dans f)).

h) Si $u$ est la primitive d’une fonction réglée dans $\mathbf{R}$, on a, pour tout $t \in \mathbf{R}$

si les deux intégrales du second membre sont convergentes (considérer les deux intervalles $]-\infty, t]$ et $[t, +\infty[$; prendre $v(x) = e^{\alpha x}$ dans les deux intervalles, $h(x) = 1/\alpha$ dans le premier intervalle et $h(x) = -1/\alpha$ dans le second, puis choisir $\alpha > 0$ convenablement).