Bài tập 5, § 3

Cho $f$ là một hàm vectơ liên tục trên một khoảng compact $I = [0, a]$. Chứng minh rằng nếu, tại điểm $\alpha_0 \in I$, tồn tại một $\varepsilon > 0$ sao cho $(f(x) - f(\alpha_0))/|x - \alpha_0|^{1/2 + \varepsilon}$ vẫn bị chặn khi $x$ tiến tới $\alpha_0$, thì hàm $g(\alpha) = \int_0^\alpha f(x)\,dx/\sqrt{\alpha - x}$ có một đạo hàm bằng

tại điểm $\alpha_0$ với $\alpha_0 > 0$, và bằng 0 với $\alpha = 0$.

Khi $f$ là hàm thực $\sqrt{\alpha_0 - x}$, chứng minh rằng hàm $g$ có một đạo hàm vô hạn tại điểm $\alpha_0$.