Exercice 5, § 3

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle continue dans l’intervalle compact $I = (0, a)$. Montrer que si, au point $x_0 \in I$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que $(\mathbf{f}(x) - \mathbf{f}(x_0))/|x - x_0|^{\frac{1}{2} + \varepsilon}$ reste borné lorsque $x$ tend vers $x_0$, la fonction $g(\alpha) = \int_0^\alpha \mathbf{f}(x) \, dx/\sqrt{\alpha - x}$ admet au point $x_0$ une dérivée égale à

pour $x_0 > 0$, à 0 pour $x_0 = 0$.

Lorsque $\mathbf{f}$ est la fonction numérique $\sqrt{x_0} - x$, montrer que la fonction $g$ admet une dérivée infinie au point $x_0$.