Bài tập 8, § 3

Cho I và J là hai khoảng tùy ý trong $\mathbf{R}$, và $\mathbf{f}$ là một hàm được xác định và liên tục trên $I \times J$, với các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên $\mathbf{R}$. Giả sử rằng:

1 tích phân $\int_I \mathbf{f}(x, y) dx$ hội tụ đều khi y chạy qua một khoảng compact tùy ý được chứa trong J;

2 tích phân $\int_J \mathbf{f}(x, y) dy$ hội tụ đều khi x chạy qua một khoảng compact tùy ý được chứa trong I;

3 nếu, với mỗi khoảng compact H được chứa trong I, ta đặt $u_H(y) = \int_H \mathbf{f}(x, y) dx$, tích phân $\int_J u_H(y) dy$ hội tụ đều đối với $H \in \mathfrak{K}(I)$ (tập hợp có thứ tự có hướng phải của các khoảng compact được chứa trong I).

Với các điều kiện này, hãy chứng minh rằng các tích phân $\int_I dx \int_J \mathbf{f}(x, y) dy$ và $\int_J dy \int_I \mathbf{f}(x, y) dx$ tồn tại và bằng nhau.