Exercice 8, § 3

Soient $I$ et $J$ deux intervalles quelconques dans $\mathbf{R}$, $\mathbf{f}$ une fonction définie et continue dans $I \times J$, à valeurs dans un espace normé complet $E$ sur $\mathbf{R}$. On suppose que: 1° l’intégrale $\int_I \mathbf{f}(x, y) \, dx$ est uniformément convergente lorsque $y$ décrit un intervalle compact quelconque contenu dans $J$; 2° l’intégrale $\int_J \mathbf{f}(x, y) \, dy$ est uniformément convergente lorsque $x$ décrit un intervalle compact quelconque contenu dans $I$; 3° si, pour tout intervalle compact $H$ contenu dans $I$, on pose $u_H(y) = \int_H \mathbf{f}(x, y) \, dx$, l’intégrale $\int_J u_H(y) \, dy$ est uniformément convergente pour $H \in \mathscr{F}(I)$ (ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans $I$).

Dans ces conditions, montrer que les intégrales $\int_I dx \int_J \mathbf{f}(x, y) \, dy$ et $\int_J dy \int_I \mathbf{f}(x, y) \, dx$ existent et sont égales.