Bài tập 3, § 1

a) Cho $(\alpha_i, \beta_i)$ là $n$ cặp số thực phân biệt $\geqslant 0$, phân biệt với $(0, 0)$, và sao cho $\inf_i \alpha_i = \inf_i \beta_i = 0$. Xét phương trình

trong đó các $a_i$ là các số thực $\neq 0$ và các $\varphi_i$ là các hàm liên tục trên một bình phương $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a$, tiến tới 0 khi $(x, y)$ tiến tới $(0, 0)$. Giả sử tồn tại một hàm $g$ dương và liên tục trên một khoảng $[0, b]$, tiến tới 0 cùng với $x$ và sao cho $f(x, g(x)) = 0$ với mọi $x \in [0, b]$. Với mọi số thực $\mu > 0$ hãy chứng minh rằng $g(x)/x^\mu$ tiến tới một giới hạn, hữu hạn hoặc vô hạn, khi $x$ tiến tới 0 (dùng V, p. 217, mệnh đề 9, xét, với mọi số $t \geqslant 0$, phương trình $f(x, tx^\mu) = 0$).

b) Để $g(x)/x^\mu$ tiến tới một giới hạn hữu hạn $\neq 0$ thì cần thiết là $\mu$ phải sao cho tồn tại ít nhất hai cặp phân biệt $(\alpha_h, \beta_h)$ và $(\alpha_k, \beta_k)$ sao cho $\alpha_h + \mu \beta_h = \alpha_k + \mu \beta_k$ và sao cho, với mọi cặp khác $(\alpha_i, \beta_i)$, ta có $\alpha_i + \mu \beta_i \geqslant \alpha_h + \mu \beta_h$. Do đó nhận được một số hữu hạn các giá trị có thể có $\mu_j$ ($1 \leqslant j \leqslant r$); các số $-1/\mu_j$ là các hệ số góc của các đường thẳng affine trong mặt phẳng $\mathbf{R}^2$ chứa ít nhất hai trong tập hợp các điểm $(\alpha_i, \beta_i)$ và sao cho tất cả các điểm khác của tập hợp này nằm phía trên đường thẳng được xét ("đa giác Newton").

c) Gọi $\mu_1$ là số nhỏ nhất trong các số $\mu_j$. Hãy chứng minh rằng $g(x)/x^{\mu_1}$ tiến tới một giới hạn hữu hạn (có thể bằng không). (Trước hết hãy chỉ ra rằng luôn có thể giả sử rằng nếu $i$ và $j$ là hai chỉ số phân biệt thì không thể có đồng thời $\alpha_i \leqslant \alpha_j$ và $\beta_i \leqslant \beta_j$; suy ra rằng có thể giả sử $\alpha_1 = 0$, $\alpha_i > 0$ và $\beta_i < \beta_1$ với $i \neq 1$; bây giờ, đặt $g(x) = t(x) x^{\mu_1}$, hãy chỉ ra rằng $t(x)$ không thể tiến tới $+\infty$ khi $x$ tiến tới 0.)

d) Suy ra từ c), bằng quy nạp theo $r$, rằng tồn tại một chỉ số $j$ sao cho $g(x)/x^{\mu_j}$ tiến tới một giới hạn hữu hạn $\neq 0$ khi $x$ tiến tới 0.