Exercice 3, § 1

a) Soient $(\alpha_i, \beta_i)$ $n$ couples distincts de nombres réels $\geqslant 0$, distincts de $(0, 0)$ et tels que $\inf_{i} \alpha_i = \inf_{i} \beta_i = 0$. On considère l’équation

où les $a_i$ sont des nombres réels $\neq 0$, les $\varphi_i$ des fonctions continues dans un carré $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant a$, et tendant vers 0 lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$. On suppose qu’il existe une fonction $g$ positive et continue dans un intervalle $[0, b)$, tendant vers 0 avec $x$ et telle que $f(x, g(x)) = 0$ pour tout $x \in [0, b)$. Pour tout nombre réel $\mu > 0$, montrer que $g(x)/x^\mu$ tend vers une limite finie ou infinie lorsque $x$ tend vers 0 (utiliser V, p. 8, prop. 9, en considérant, pour tout nombre $t \geqslant 0$, l’équation $f(x, tx^\mu) = 0$). b) Pour que $g(x)/x^\mu$ tende vers une limite finie et $\neq 0$, il est nécessaire que $\mu$ soit tel qu’il existe au moins deux couples distincts $(\alpha_h, \beta_h)$ et $(\alpha_k, \beta_k)$ tels que $\alpha_h + \mu \beta_h = \alpha_k + \mu \beta_k$ et que, pour tout autre couple $(\alpha_j, \beta_j)$, on ait $\alpha_j + \mu \beta_j \geqslant \alpha_h + \mu \beta_h$. On obtient ainsi un nombre fini de valeurs possibles $\mu_j$ ($1 \leqslant j \leqslant r$); les nombres $-1/\mu_j$ sont les pentes des droites affines du plan $\mathbf{R}^2$ contenant au moins deux points de l’ensemble des points $(\alpha_i, \beta_i)$ et telles que tous les autres points de cet ensemble soient au-dessus de la droite considérée ("polygone de Newton"). c) Soit $\mu_1$ le plus petit des nombres $\mu_j$. Montrer que $g(x)/x^{\mu_1}$ tend une limite finie (pouvant être nulle). (Montrer d’abord qu’on peut toujours supposer que si $i$ et $j$ sont deux indices distincts, on n’a pas à la fois $\alpha_i < \alpha_j$ et $\beta_i < \beta_j$; en déduire qu’on peut supposer $\alpha_1 = 0$, $\alpha_i > 0$ et $\beta_i < \beta_1$ pour $i \neq 1$; en posant alors $g(x) = t(x)x^{\mu_1}$, montrer que $t(x)$ ne peut pas tendre vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers 0.) d) Déduire de c), par récurrence sur $r$, qu’il existe un indice $j$ tel que $g(x)/x^{\mu_j}$ tende vers une limite finie et $\neq 0$ lorsque $x$ tend vers 0.